Integrais usando substituição e mudança de variável

Matemática

Dentro de uma dada função, esta sempre irá receber um valor de entrada, que é o argumento da função, e fornecer um único valor correspondente, de forma simplificada. Entretanto, há algumas vezes em que, dentro do argumento de uma função, há outra função que fornece os valores a serem usados para a construção desta. Por exemplo:

f(x) = sen (0,5x) = sen (g(x)), para g(x) = 0,5x

[Imagem: Solução Matemática]

» Limites Indeterminados e a Regra de L'Hospital;

» Condições de contorno;

» Integração por partes e a Integral de ln (x).

Para a resolução de uma integral desta forma, é preciso substituir a função argumento por outra função, cujos valores sejam iguais aos de g(x). De maneira similar a quando temos funções compostas e desejamos realizar a derivação, trataremos primeiro do argumento para depois integrar. Primeiramente, atribuiremos:

u = g(x)

Derivando esta função em relação a x,

(du/dx) = g’(x)

Substituiremos g(x) por u e dx por (du/ g’(x)). Se estivermos tratando de uma integral definida, devemos trocar os limites de integração, achando os valores de u correspondentes para o intervalo de integração adotado. Por exemplo, se o intervalo for [a,b], devemos usar o novo intervalo [g(a), g(b)] = [u_a , u_b] e resolver a integral normalmente.

Se estivermos tratando de integral indefinida, resolveremos literalmente a integral e, em seguida, iremos substituir u por g(x).

Importante: para realizar a integração, é preciso que haja um ‘fragmento’ da derivada de g(x) presente na integração.

Vejamos um exemplo:

ʃ x sen (x²) dx

Para u = x², (du/dx) = 2x

dx = (du/2x)

 ʃ x sen (u) (du/2x) =  ʃ sen (u) (du/2) =

= 0,5 ʃ sen (u) du = -0,5 cos (u) + C =

= -0,5 cos (x²) + C

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