Matemática
Dentro
de uma dada função, esta sempre irá receber um valor de entrada, que é o
argumento da função, e fornecer um único valor correspondente, de forma
simplificada. Entretanto, há algumas vezes em que, dentro do argumento de uma
função, há outra função que fornece os valores a serem usados para a construção
desta. Por exemplo:
f(x)
= sen (0,5x) = sen (g(x)), para g(x) = 0,5x
[Imagem: Solução Matemática] |
Para
a resolução de uma integral desta forma, é preciso substituir a função
argumento por outra função, cujos valores sejam iguais aos de g(x). De maneira
similar a quando temos funções compostas e desejamos realizar a derivação, trataremos
primeiro do argumento para depois integrar. Primeiramente, atribuiremos:
u
= g(x)
Derivando
esta função em relação a x,
(du/dx)
= g’(x)
Substituiremos
g(x) por u e dx por (du/ g’(x)). Se estivermos tratando de uma integral
definida, devemos trocar os limites de integração, achando os valores de u
correspondentes para o intervalo de integração adotado. Por exemplo, se o
intervalo for [a,b], devemos usar o novo intervalo [g(a), g(b)] = [ua
, ub] e resolver a integral normalmente.
Se
estivermos tratando de integral indefinida, resolveremos literalmente a
integral e, em seguida, iremos substituir u por g(x).
Importante:
para realizar a integração, é preciso que haja um ‘fragmento’ da derivada de
g(x) presente na integração.
Vejamos
um exemplo:
ʃ x sen (x²) dx
Para
u = x², (du/dx) = 2x
dx
= (du/2x)
ʃ x
sen (u) (du/2x) = ʃ sen (u) (du/2) =
=
0,5 ʃ sen (u) du = -0,5 cos (u) + C =
=
-0,5 cos (x²) + C
□
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