Matemática
As
Equações Diferenciais de Riccati, em homenagem ao Conde Jacopo Francesco
Riccati, são equações diferenciais de primeira ordem, cujo princípio será
apresentado a seguir. Dada uma função da forma:
F(x,y)
= dy/dx
Cuja
aproximação a x constante é dada, até o termo quadrático, por:
F(x,y)
= P(x) + Q(x)y + R(x)y² [1]
Estas
equações são não lineares e, possuem a particularidade de exigirem ao menos uma
solução particular y1 para que seja encontrada sua solução geral yG.
[Imagem: Solução Matemática]
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Conhecida
esta função y1, usaremos uma função auxiliar z, relacionada com y e
y1, dada por:
z
= 1 / (y + y1) ou y = y1 + 1/z. [2]
Derivando
implicitamente em relação a x, temos que:
dy/dx = dy1/dx + -(z)-²
· dz/dx, ou, pela notação em linha, y’ = y1’ - z’/z² [3]
Substituindo [2] e [3] em [1],
dz/dx = -[Q(x) + 2y1R(x)] · z –
R(x). [4]
Conforme as modalidades de resolução
existentes (Equação de Bernoulli, Fator Integrante, Separável, etc.),
resolve-se a equação diferencial de primeira ordem para z. Por fim, usando a
relação expressa em [2], voltamos à variável y original, por meio da solução para
z.
1 – Dadas a equação
diferencial (dy/dx) = -1 - y + 2y² e a solução particular y1 = 1,
encontre a solução geral para esta equação de Riccati.
Resolução: Encontrando
os valores de z e y’, temos:
z = 1/(y - 1), y’ = -(z’/z²), y = 1 + 1/z;
Substituindo, temos:
-(z’/z²) = -1 - 1 - 1/z + 2(1 + 1/z)²
-(z’/z²) = -2 - 1/z + 2(1 + 2/z + 1/z²)
-(z’/z²) = -2 - 1/z + 2 + 4/z + 2/z²
-(z’/z²) = 3/z + 2/z²
-(z’/z²) = (3z + 2)/z²
-z’ = 3z + 2 ou z’ = 2 - 3z
z’ + 3z = 2.
Para a parte homogênea, temos que a
equação característica é:
r + 3 = 0
r = -3
Logo, tendo uma única solução inteira
positiva, temos que zG = Ce-3x.
Para a parte não homogênea, vemos que 2
pode ser classificada como um polinômio de grau m igual a zero. Por outro lado,
a equação diferencial possui derivada de menor ordem h=0 (z = d0z/dx0).
A solução particular será um polinômio de grau m + h = 0.
zP = Ax0 = A.
Substituindo em z’ + 3z = 2:
0 + 3A = 2
A = 2/3
A solução z = zP + zG
é igual a 2/3 + Ce-3x leva a:
y = 1 + 1/z = 1 + 1/(2/3 + Ce-3x)
Para a obtenção da constante C, precisamos
de uma condição de contorno que leve ao seu valor.
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