Equações Diferenciais de Riccati



Matemática

As Equações Diferenciais de Riccati, em homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, são equações diferenciais de primeira ordem, cujo princípio será apresentado a seguir. Dada uma função da forma:

F(x,y) = dy/dx

Cuja aproximação a x constante é dada, até o termo quadrático, por:

F(x,y) = P(x) + Q(x)y + R(x)y²          [1]

Estas equações são não lineares e, possuem a particularidade de exigirem ao menos uma solução particular y1 para que seja encontrada sua solução geral yG.


http://www.oblogdomestre.com.br/2014/10/EquacoesDiferenciaisDeRiccatiRicattiRicati.html
                                                [Imagem: Solução Matemática]




Conhecida esta função y1, usaremos uma função auxiliar z, relacionada com y e y1, dada por:

z = 1 / (y + y1) ou y = y1 + 1/z.   [2]

Derivando implicitamente em relação a x, temos que:

dy/dx = dy1/dx + -(z)-² · dz/dx, ou, pela notação em linha, y’ = y1’ - z’/z²       [3]


Substituindo [2] e [3] em [1],

dz/dx = -[Q(x) + 2y1R(x)] · z – R(x). [4]

Conforme as modalidades de resolução existentes (Equação de Bernoulli, Fator Integrante, Separável, etc.), resolve-se a equação diferencial de primeira ordem para z. Por fim, usando a relação expressa em [2], voltamos à variável y original, por meio da solução para z.
1 – Dadas a equação diferencial (dy/dx) = -1 - y + 2y² e a solução particular y1 = 1, encontre a solução geral para esta equação de Riccati.

Resolução: Encontrando os valores de z e y’, temos:

z = 1/(y - 1), y’ = -(z’/z²), y = 1 + 1/z;

Substituindo, temos:

-(z’/z²) = -1 - 1 - 1/z + 2(1 + 1/z)²
-(z’/z²) = -2 - 1/z + 2(1 + 2/z + 1/z²)
-(z’/z²) = -2 - 1/z + 2 + 4/z + 2/z²
-(z’/z²) = 3/z + 2/z²
-(z’/z²) = (3z + 2)/z²
-z’ = 3z + 2 ou z’ = 2 - 3z
z’ + 3z = 2.

Para a parte homogênea, temos que a equação característica é:

r + 3 = 0
r = -3

Logo, tendo uma única solução inteira positiva, temos que zG = Ce-3x.
Para a parte não homogênea, vemos que 2 pode ser classificada como um polinômio de grau m igual a zero. Por outro lado, a equação diferencial possui derivada de menor ordem h=0 (z = d0z/dx0). A solução particular será um polinômio de grau m + h = 0.

zP = Ax0 = A.

Substituindo em z’ + 3z = 2:

0 + 3A = 2
A = 2/3

A solução z = zP + zG é igual a 2/3 + Ce-3x leva a:

y = 1 + 1/z = 1 + 1/(2/3 + Ce-3x)


Para a obtenção da constante C, precisamos de uma condição de contorno que leve ao seu valor.






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