Equações Diferenciais de Segunda Ordem ou Superior e Primeiro Grau

Cálculo

 

As equações diferenciais lineares de ordem n apresentam a seguinte forma geral:

A0[dny/dyn] + A1[dn-1y/dyn-1] + ∙∙∙ + Any = B

A0, A1, ... , An e B  são funções de x ou constantes. O valor de B define a resolução para a obtenção de yG(x) (solução geral). Quando B = 0, a solução da parte homogênea da equação diferencial de ordem n e 1° grau é, ao mesmo tempo, a solução geral. Caso contrário, é necessário somar a solução da parte homogênea com a solução específica referente à parte B, que é dependente da Equação característica. Em seguida, elucidaremos tais termos.
A parte homogênea de uma equação diferencial consiste no conjunto de termos que possuem a incógnita y. Supondo o caso em que B = 0, temos que:

 A0[dny/dyn] + A1[dn-1y/dyn-1] + ∙∙∙ + Any = 0          [1]

A solução geral desta equação diferencial, conforme vimos nos posts anteriores desta série, possui n constantes arbitrárias, de acordo com a ordem da equação diferencial. Se y1, y2, ... yn forem soluções particulares da equação [1], e A1, A2, ... , An constantes, y = A1 y1 + A2 y2 + ∙∙∙ + An yn [2] é a solução geral.

Para n = 1, a equação [1] ficará:

A0[dy/dy] + A1y = 0  que, separando:
A0[dy/dy] = - A1y  Þ dy/y = - [A1/ A0]dx

Integrando ambos os membros,

òdy/y = - ò[A1/ A0]dx + k
ln y = - [A1/ A0]x + k

Elevando e a ambos os membros e chamando de C a constante ek, e r a constante - [A1/ A0]:

y(x) = Cerx

Quando estamos tratando de equações diferenciais lineares de ordem n, que são de nosso interesse agora, temos:

dny/dyn = rnCerx, dy/dx = rCerx, e assim por diante.

Então , a equação diferencial pode ser reescrita como:

A0[rnCerx] + A1[rn-1Cerx] + ∙∙∙ + An Cerx = 0
Cerx [A0rn + A1rn-1 + ∙∙∙ + An] = 0

Como Cerx sempre será diferente de zero, então conclui-se que A0rn + A1rn-1 + ∙∙∙ + An = 0, que é a equação característica de uma equação diferencial. Veja que os expoentes de r equivalem a ordem da derivada correspondente na parte homogênea da equação diferencial. De acordo com as raízes da equação característica, temos a solução homogênea, que é igual á solução geral da equação diferencial quando temos a situação [1].

Equação característica com raízes reais e distintas: a solução geral é da forma yG(x) = yh(x) = C1e(r1)x + ∙∙∙ + Cne(rn)x, para r1, ..., rn sendo as raízes da equação característica [EC]. Exemplo:

1 d²y/ dx² - 5dy/dx + 6y = 0
EC: r² - 5r + 6 = 0, r1 = 2 e r2 = 3
yG(x) = yh(x) = C1e2x + C2e3x.

Equação característica com raízes complexas e distintas: a solução geral é da forma yG(x) = yh(x) = eax [C1cos(bx) + C2sen(bx)] , para r1 = a + bx e r2 = a - bx sendo as raízes da equação característica [EC]. Exemplo:

2 d²y/ dx² + y = 0
EC: r² + 1 = 0, r1 = +i e r2 = -i
Parte real a = 0, na parte imaginária, b = 1.
yG(x) = yh(x) = C1cos(x) + C2sen(x).

Equação característica com raízes reais múltiplas (ou seja, com multiplicidade maior do que 1): a solução geral é da forma yG(x) = yh(x) = C1e(r1)x + ∙∙∙ + Cnxn-1e(rn)x, para r1, ..., rn sendo as raízes da equação característica [EC]. Exemplo:

3 d²y/ dx² - 4dy/dx + 4y = 0
EC: r² - 4r + 4 = 0, r1 = 2 e r2 = 2
yG(x) = yh(x) = C1e2x + C2xe2x.

Nos casos em que a equação característica apresenta diferentes combinações de raízes, como por exemplo, raiz 2 com multiplicidade 2 e raiz 1 com multiplicidade 1, aplicamos as regras para estes casos, separadamente, e unimos as respostas em yG(x), conforme descrito em [2].
No próximo post desta série, veja como obter a solução geral yG(x) quando B ¹ 0, sendo uma constante ou uma função de x. De qualquer forma, é preciso resolver a equação característica para conseguir realmente obter a solução yP referente a B.
 


 

 

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