Equações Diferenciais de Primeira Ordem e Primeiro Grau

Cálculo

 

As equações diferenciais de primeiro grau são aquelas da forma dy/dx = F(x,y), que também podem ser descritas como Mdx + Ndy = 0, para M(x,y) e N(x,y). Para a obtenção das soluções destas equações, é necessário que elas sejam contínuas no intervalo considerado. Podem ser classificadas como separáveis, exatas ou lineares.

Equações diferenciais separáveis: As funções M e N precisam atender aos seguintes requisitos: (1) ser funções de apenas uma variável; (2) conter produtos com apenas uma variável ou (3) ser constantes. Para a resolução de equações diferenciais separáveis, dispomos a equação na forma M(x)dx + N(y)dy = 0, ou M(x)dx = -N(y)dy, integrando ambos os membros da equação diferencial, obtendo òM(x)dx = -òN(y)dy + k, onde k é uma constante.

1 – dy/dx = 3x -1

(3x – 1)dx –dy = 0

ò(3x – 1)dx –òdy = k

3x²/2 - x – y = k

yG(x) = 3x²/2 - x - k

Equações diferenciais exatas: Nesta modalidade de equação diferencial, a função que é solução geral é advinda de uma função potencial U tal que M(x,y) = dU/dx e N(x,y) = dU/dy. Para buscar a resolução por este método, devemos primeiramente verificar se a equação diferencial é exata, pela relação de reciprocidade de Euler, verificando se dM/dy = dN/dx.

2 – (x² - y²)dx – 2xydy = 0

M(x,y) = (x² - y²) e N(x,y) = -2xy.

dM/dy = -2y, dN/dx = -2y; destarte esta diferencial é exata.

U(x,y) = òMdx + uma função g(y), para que U seja, em todos os problemas, sempre dependente de x e y.
U(x,y) = ò(x² - y²)dx + g(y)

U(x,y) = x³/3 - xy² + g(y)

Sabemos que, como se trata de uma diferencial exata, N(x,y) = dU/dy, logo:
dU(x,y)/dy = -2xy + g’(y)dy = -2xy

g’(y)dy = 0

òg’(y)dy = g(y) = k, sendo k uma constante.
Desta forma, U(x,y) = x³/3 – xy² + k = A, sendo A uma constante obrigatória pelo fato de que estamos  tratando de uma EDO de 1ª ordem e que nem sempre g(y) = k.

x³/3 – xy² = B, onde B = A - k.
A solução geral indicaria duas funções yG (x), mas, nestes casos, com base em condições iniciais, se pode definir se é a solução positiva ou negativa que se procura.

Equações diferenciais exatas por meio de Fator Integrante: Da mesma que no item anterior, a função que é solução geral vem de uma função potencial U tal que M(x,y) = dU/dx e N(x,y) = dU/dy. Porém, na verificação se a equação diferencial é exata, pela relação de reciprocidade de Euler, verifica-se que dM/dy ¹ dN/dx. Então, há um fator que é multiplicado a ambos os membros da equação diferencial não exata e que permite a obtenção de uma solução geral por meio de uma função potencial, seguindo da mesma forma que no item anterior. Este fator é chamado Fator Integrante.
Não há apenas uma possibilidade de obtenção de uma função fator integrante. O importante é que esta função dependa apenas de uma variável. Duas das formas possíveis de cálculo desta função são:

Þ F.I (x) = eP(x), onde P(x) = ò1/N ∙ (dM/dy – dN/dx) dx;
Þ F.I (y) = eQ(y), onde Q(y) = ò-1/M ∙ (dM/dy – dN/dx) dy.

Vejamos um exemplo:

3 – y²dx + (xy + 1)dy = 0

M(x,y) = y², N(x,y) = xy + 1

dM/dy = 2y, dN/dx = y; logo a diferencial não é exata. Devemos, portanto, encontrar um fator integrante que a torne exata. Ao fazer as contas para escolher qual fórmula de fator integrante usar, percebemos que usaremos F.I.(y), pois esta é a única forma de obter uma função de apenas uma variável.

Q(y) = ò-1/(y²) ∙ (2y - y) dy = ò(-y/y²)dy = ò-dy/y = -ln y = ln y-1

F.I. (y) = e-ln y = 1/y.

Então, multiplicamos ambos os membros da diferencial de primeira ordem e primeiro grau pelo Fator Integrante:
ydx + (x + 1/y)dy = 0

m(x,y) = y, n(x,y) = (x + 1/y)

dm/dy = 1, dn/dx = 1, destarte a nova diferencial, que usaremos apenas para obter yG(x)  é exata.

U(x,y) = òydx + g(y) = xy + g(y)

Sabemos que dU/dy = n(x,y), portanto:
dU/dy = x + g’(y)dy = x + 1/y

g’(y)dy = 1/y Þ òg’(y)dy = òdy/y

g(y) = ln y

U(x,y) = xy + ln y = A, sendo A uma constante.

xy + ln y = A.

Equações diferenciais lineares: Estas equações diferenciais são da forma dy/dx + A(x)y = Q(x), onde A e Q são funções de x ou podem ser constantes. Sendo A e Q constantes, temos uma equação diferencial separável e podemos usar o método acima descrito. Caso contrário, podemos buscar saber se a equação diferencial linear é uma diferencial exata. Mas, ainda há uma terceira forma de resolução, com outro método para obtenção de um Fator Integrante, porém, para resolvê-la, é obrigatória a disposição da diferencial conforme o modelo acima apresentado, sem nenhuma constante ou sinal negativo acompanhando dy/dx. Neste caso, o fator integrante será dado por F.I. = eòA(x)dx. Vejamos um exemplo:

4 – dy/dx = x – 2 + y/x

dy/dx – y/x = x - 2

A(x) = -1/x

F.I. (x) = eò-dx/x = e-ln x = eln (1/x) = 1/x

1/x ∙ dy/dx – y/x² = 1 – 2/x

Note que d[1/x]/ dx = -1/x² e que d[y(x)]/ dx = dy/dx, o que lembra a resolução da derivada do produto entre duas funções. Sendo assim, podemos escrever esta igualdade como:
d[y/x]/dx = 1 – 2/x

Integrando ambos os membros,
ò{d[y/x]/dx} dx = ò(1 – 2/x)dx + k

y/x = x – 2 ln x + k

y = x² - x ln x² + kx

Veja no próximo post desta série como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem ou superiores.

 


 
 

 

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