Operações com funções vetoriais

Matemática


As funções vetoriais são funções F tais que, dadas grandezas escalares (ou mesmo vetoriais) de entrada (variáveis independentes), originam vetores ou (em casos particulares, escalares) como imagem. Assim como as operações de integração e derivação/diferenciação, as funções vetoriais podem passar por operações semelhantes às que ocorrem entre dois vetores distintos quaisquer. Podem passar por soma/subtração e pelos produtos escalar e vetorial. 



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Para ilustrar essas operações, iremos considerar as funções vetoriais F(t) = f1i + f2j + f3k e G(t) = g1i + g2j + g3k. Na soma F(t) + G(t) temos:

F(t) + G(t) = (f1 + g1) i + (f2 + g2)j + (f3 + g3)k
F(t) – G(t) = (f1 - g1) i + (f2 - g2)j + (f3 - g3)k

Realizando o produto escalar entre as funções F(t) e G(t) temos, por sua vez, a seguinte função, cujo significado físico é do produto entre a norma de um vetor pela projeção reta do outro sobre ele:

F(t) ∙ G(t) = (f1g1) + (f2g2) + (f3g3)

Já no produto vetorial entre funções vetoriais, obtém-se uma função vetorial tal que os vetores por ela originados são ortogonais/perpendiculares aos das duas funções F(t) e G(t). Esse produto é obtido através do determinante da matriz cuja linha 1 é dos vetores canônicos i, j e k; a segunda linha da função F e a terceira das componentes da função G, nessa forma:

F(t) X G(t) = det |A|

|A| = | i    j   k |
        | f1   f2   f3|
        | g1 g2 g3|


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