Propriedades da média e do espelho nas progressões aritméticas

watch_later 23 de fevereiro de 2015
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As progressões aritméticas, que são sequências numéricas em que um termo é igual ao anterior mais uma constante fixa chamada de razão possuem algumas propriedades interessantes, como a propriedade da média e a propriedade do espelho. Estas propriedades nos permitem descobrir os demais termos da sequência e/ou a razão de uma PA, se esta for desconhecida.


A propriedade da média nos diz que cada termo de uma progressão aritmética é igual à média do anterior e do posterior. Suponhamos que o termo é questão é a, seu anterior é b e seu termo posterior é c, sendo a razão desta PA o valor r. Podemos afirmar que:

a = b + r
c = a + r

Transformando as equações por substituição de r, temos:

c - a = r
a = b + c - a
2a = b + c
a = (b + c)/2

Outra propriedade interessante das PA’s é a do espelho. Para quaisquer termos equidistantes do termo central de uma progressão aritmética, a soma é uma constante e igual à soma dos extremos. Suponhamos uma PA com n termos: o seu k-ésimo termo terá como termo equidistante do termo central o termo nk + 1. Escrevendo ambos em termos do primeiro termo da PA, temos:

ak = a1 + (k – 1)r
ank + 1 = a1 + [(n - k + 1) – 1)]r

Fazendo a soma dos termos-espelho:

ak + ank + 1 = a1 + (k – 1)r + a1 + [(n - k + 1) – 1)]r
ak + ank + 1 = 2a1 + (k – 1)r + [(n - k + 1) – 1)]r
ak + ank + 1 = 2a1 + (k – 1)r + (n - k)r
ak + ank + 1 = 2a1 + (k – 1 + n - k)r
ak + ank + 1 = 2a1 + (n – 1)r

Agora, se o valor k for igual a 1 e a n, que são os extremos da PA e também são valores espelho, temos que ak = a1 + (k – 1)r, ou seja, a1 = a1 + (1 – 1)r e an = a1 + (n – 1)r. Somando os dois temos 2a1 + (n – 1)r, que é igual à soma dos demais termos espelho, como queríamos demonstrar.





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