A Matemática está nos planos

Matemática

O conceito de plano é dado como intuitivo ou pouco definido por alguns autores (considerando não ser possível provar a existência), assim como ponto e reta. Entretanto, parte da indefinição vem do modo como se descreve o espaço. Para as ideias, definições e axiomas e o que mais for mencionado, a seguir, neste post, estaremos considerando o espaço euclidiano (espaço visto a partir de três eixos coordenados ortogonais). 

[Imagem: Wikipedia]

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Um plano consiste em uma superfície que divide igualmente o espaço em dois subespaços, exatamente iguais. Geometricamente, contém ao menos três pontos não alinhados e/ou duas ou três retas concorrentes.

Alguns axiomas que podem ser citados:

“Existe plano e tanto nele quanto fora dele existem infinitos pontos.”

“Se um plano contém dois pontos distintos de uma reta, ele contém toda essa reta.”

“Uma reta divide um plano em duas partes nas quais ela está contida. Um plano divide o espaço em duas partes nas quais ele está contido.”

“Três pontos não colineares determinam um plano.”

Como exemplo prático do último axioma temos os tripés, usados em equipamentos como níveis, teodolitos e estações totais. Há a afixação em três pontos e o aparelho fica posicionado em um plano paralelo ao formado pela base, buscando garantir a planicidade (que seria dificultada no caso de quatro pés, onde poderiam ser formadas combinações de planos entre eles).

Um plano pode ser representado através de uma equação, que considera um vetor normal N a esse plano e um ponto a ele pertencente. Considerando um vetor P pertencente ao plano, começando em um ponto (x₀, y₀, z₀) e terminando em um ponto (x, y, z), o produto vetorial entre N e P é nulo. Após algum algebrismo, chega-se à equação geral do plano, dada por:

ax + by + cz = d 

Há outras formas de representação da reta, como equações paramétricas, as quais serão abordadas, juntamente com a dedução da equação geral, em posts posteriores.

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E ainda mais para você: Espaços vetoriais

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