Testes de Hipóteses

Estatística

Durante certos estudos estatísticos, existe a busca por definir se uma hipótese de pesquisa é válida ou não. Em geral, há embasamento teórico anterior apontando um ou outro caminho, mas o estudo pode buscar indicar que o observado foi o oposto, inferindo através de uma amostra o que deve ocorrer na população. Um teste de hipóteses é uma ferramenta estatística que permite ou não refutar uma hipótese inicial associada a uma distribuição de probabilidades (curva normal, binomial, t de Student, qui-quadrado e outras).

[Imagem: Mundo Gump]

» Modelo Normal (Curva Gaussiana)

» Juros simples ou compostos

» Continuidade de funções

Essa hipótese inicial é chamada de hipótese nula ou h₀. Ela é oposta ao que se deseja provar, que estará contido em outra hipótese, a hipótese alternativa ou h₁. Ao aplicar um teste de hipóteses, você consegue apenas refutar, ou seja, provar que a hipótese nula não é válida em favor da alternativa, que é de nosso interesse. É muito importante entender que um teste de hipóteses apenas consegue provar que h₀ não é válida, e não o contrário.

Para começar a ilustrar o que falamos, vamos pensar que temos desconfiança sobre uma moeda, ou seja, queremos saber se ela é viciada ou não. Assim, queremos testar a probabilidade de sucesso p, sendo que a hipótese nula é de p = 0,5 e a hipótese alternativa de p ≠ 0,5.

Suponhamos um teste com dez lançamentos. O número esperado de caras E = np é de cinco (distribuição binomial). Vamos pensar em duas situações:

1) Obtivemos dez caras;

2) Obtivemos sete caras.

Quando o resultado do teste leva exatamente ao valor esperado para a hipótese nula, não conseguimos refutá-la direto e a opção é pela aceitação desta hipótese. Mas quando ocorre um valor diferente, ou seja, há um desvio, temos de calcular uma probabilidade de significância, que é a probabilidade de que esse desvio tenha ocorrido por acaso, em situações iguais ou mais desfavoráveis à não recusa da hipótese nula.

Na situação das dez caras, calcularemos a probabilidade de ocorrer as dez caras, assim como a de ocorrer nenhuma cara (o que é equivalente, neste caso). p_s = P(x = 0) + P(x = 10) (distribuição binomial) = 0,002 ou 0,2 %.

Já para as sete caras, calcularemos a probabilidade de ocorrerem sete caras ou mais, ou três caras ou menos. Para esta situação, p_s = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 7) + P(x = 8) + P(x = 9) + P(x = 10) = 0,344 ou 34,4 %.

Note que para dez caras, a probabilidade de um desvio assim em relação ao valor esperado é pequena. Já para sete caras, a probabilidade de significância é maior. Mas avaliar qualitativamente não é o suficiente, e um teste de hipóteses não se propõe a isso. Então surge o nível de significância (α), que é o erro máximo que se assume em rejeitar a hipótese nula quando essa for verdadeira. Costuma-se utilizar este erro de 5 %, mas há estudos que adotam valores de 10 % ou mesmo de 1 %. O complemento desta probabilidade é chamado de nível de confiança (g).

Se:

p_s > α à não se consegue rejeitar a hipótese nula;

p_s < α à  rejeita-se a hipótese nula em favor da alternativa, pois a probabilidade daquele desvio era muito pequena.

Com isso, rejeitamos a hipótese nula na situação 1 e não rejeitamos na situação 2. Que tal ver mais alguns tipos de testes?

Testes unilaterais e bilaterais

Os testes dependem de uma função densidade de probabilidade. Em alguns casos, situações simétricas em relação à média podem ser equivalentes, como nos exemplos da variável número de caras na distribuição binomial.

Vamos supor que queremos comprovar apenas que uma variável é diferente daquilo que supúnhamos. Temos um teste bilateral, como nos exemplos anteriores.

No teste unilateral, tem-se uma informação a mais. Ou se um padrão mínimo foi atingido ou um máximo foi ou não excedido podem ser verificados pelos testes. No primeiro caso, tem-se um teste unilateral à direita, e no segundo, à esquerda.

Um exemplo de teste de hipóteses unilateral à direita seria : “hipótese alternativa: a propaganda na TV promoveu um aumento de vendas no último mês”. Outro exemplo de teste unilateral, mas à esquerda: “investimentos em novas creches reduziram a proporção de crianças analfabetas.”

Teste para a média

Hipótese nula h₀: média µ = µ₀ (média igual  à inicial prevista);

Hipótese alternativa h₁: média µ ≠ µ₀ (média maior, menor ou teste bilateral, verificando-se a questão de pesquisa).

Quando falamos de média, estamos mencionando a distribuição da média amostral. Na estatística clássica, a média populacional é determinística, enquanto que as médias variam segundo cada amostra, gerando uma variável aleatória com distribuição normal. O mesmo vale para as proporções amostrais.

A estatística deste teste é a distribuição t de Student, com um grau de liberdade a menos que o número n de elementos da amostra. Para calculá-la, usamos a seguinte equação:

t = (x_méd - µ₀) • n^{^0,5} / s

Nela, x_méd é a média amostral, µ₀ é a média populacional/prevista e s é o desvio-padrão experimental/amostral.

Teste para a proporção

Hipótese nula h₀: proporção p = p₀ (proporção/probabilidade de sucesso em cada evento igual  à inicial prevista);

Hipótese alternativa h₁: proporção p ≠ p₀ (proporção maior, menor ou teste bilateral, verificando-se a questão de pesquisa).

A estatística deste teste é a distribuição normal (z), com o número n de elementos da amostra sendo grande (em geral, acima de 30). Para calculá-la, usamos a seguinte equação:

z = (y’ - np₀) / [np₀ • (1 - p₀) ]^{^0,5}

Nela, p₀ é a proporção inicial prevista. Para obter y’, devemos começar verificando a proporção observada ṕ = y/n, sendo y o número de observações com a característica de interesse. Se y > np₀, y’ = y - 0,5, ou se y < np₀, então y’ = y + 0,5. Esse valor y’ decorre de correção de continuidade, para definir um teste unilateral (ou a proporção é maior do que a esperada, ou menor, querendo-se testar isso).

Teste qui-quadrado

Através das contribuições de qui-quadrado em uma tabela de contingência, informa se há associação ou não entre variáveis qualitativas. Para mais detalhes, clique aqui.

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