Matemática
Os juros são a remuneração pelo emprego de
um dado capital. Mesmo que uma propaganda afirme que o parcelamento é “sem
juros”, na verdade ele é “sem mais juros” ou “sem negociação de desconto”.
Os juros podem incidir de maneira diferente
sobre um montante inicial de dinheiro. De acordo com esta forma, podem ser
divididos em simples ou compostos.
[Imagem: FK Consultoria] |
JUROS
SIMPLES
Para o cálculo dos juros simples,
considera-se uma taxa que irá incidir apenas sobre o capital ou valor inicial,
ou ainda chamado valor presente. A cada período n haverá um rendimento fixo e constante, considerando-se um mês
como 30 dias. No caso de se considerar
os 365 dias do ano (ou ainda 366 no caso de ano bissexto), 29, 30 ou 31 dias do mês, temos os chamados juros exatos.
Podemos calcular os juros simples através da
seguinte fórmula:
J = C ∙ i ∙ n
.
Sendo J
os juros simples (em reais ou outra moeda) a incidir sobre o capital C (nesta mesma moeda), em um número n de períodos, a uma taxa i. Tanto a taxa como número de períodos
devem se referir a uma mesma unidade de tempo. Como exemplo:
1) Calcular
os juros sobre um capital de R$ 1.000,00, por doze meses, a uma taxa de 2% a.m.
Aplicando nossa fórmula, temos J = R$ 1.000
∙ 0,02 a.m. ∙ 12 meses = R$ 240,00
JUROS
COMPOSTOS
Nos juros compostos, há a capitalização dos
juros de um mês no mês seguinte. Na linguagem popular, são conhecidos como
“juros sobre juros”, sendo de mais ampla utilização. Podem ser calculados da
seguinte forma:
J = C ∙ [(1 + i)n – 1]
As variáveis são as mesmas que consideramos
no cálculo dos juros simples (J, em
reais ou outra moeda) sobre o capital C,
em n períodos, a uma taxa i. Vamos a mais um exemplo:
2) Apliquei
dois mil reais em um investimento com juros de 3% a.m pelo período de 50 meses.
Quanto irei ganhar em juros?
Poderei responder a esta pergunta usando a
fórmula para juros compostos, o que me leva a J = R$ 2.000 ∙ [(1 + 0,03)50
– 1] = R$ 6.767,81.
CONVERSÃO
DE TAXAS PARA JUROS SIMPLES
Taxas de juros e períodos precisam estar
referenciados a um mesmo período de tempo. Quando isso não estiver acontecendo,
ou o período deve ser corrigido, ou a taxa.
No caso de correção da taxa, usamos um fator
de conversão:
i2 = i1 ∙ (P1/P2)
Sendo i2
a taxa convertida, i1 a
taxa que temos disponível, P1
a unidade de tempo a que se refere a taxa que queremos converter e P2 é o número de períodos de
tempo em que a unidade de tempo que queremos converter “cabe” no período de
tempo de referência. Esclareçamos mais por meio de um exemplo:
3) Tenho um empréstimo com juros simples de 2%
a.m durante um ano. Qual a taxa anual de juros que irei pagar?
Aplicando nossa conversão, sabendo que um
mês é igual a 1/12 de um ano, i2 = 0,02 a.m ∙ [1 mês/ (1/12 de ano)]
= 24% a.a.
CONVERSÃO
DE TAXAS PARA JUROS COMPOSTOS
No caso dos juros compostos, 1% a.m é
diferente de 12% a.a, em função da capitalização dos juros. Assim, é necessária
outra equação matemática para obter a taxa, porém seguindo o mesmo princípio de
quanto o período de tempo do qual a nova taxa i2 irá se referir em
relação ao período de tempo P1 da taxa que temos.
As taxas são equivalentes, no caso dos juros
compostos, quando produzem um mesmo montante (capital mais juros) ou ainda os
mesmos juros num mesmo período de tempo. Assim:
J2 = J1
C ∙ [(1 + i2)n2 –
1] = C ∙ [(1 + i1)n1 – 1]
[(1 + i2)n2 – 1]
= [(1 + i1)n1 – 1]
(1 + i2)n2 = (1 +
i1)n1
i2
= (1 + i1)n1/n2 - 1
Sendo i2
a taxa a conhecer, i1 a
taxa conhecida, n1 a unidade de
tempo correspondente à taxa conhecida e n2
quantas vezes o período da taxa a conhecer corresponde à unidade de tempo da
taxa conhecida. Com mais um exemplo, podemos clarear esta ideia:
4) A
quanto em taxa anual equivale a taxa de 1% a.m?
Vejamos a formulação acima, considerando que
um mês é igual a 1/12 de ano. Com isso, i2 = (1 + 0,01)1 mês/
1/12 de ano - 1 = (1,01)12
– 1 = 0,1268 = 12,68% a.a.
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