Juros simples ou compostos

Matemática

Os juros são a remuneração pelo emprego de um dado capital. Mesmo que uma propaganda afirme que o parcelamento é “sem juros”, na verdade ele é “sem mais juros” ou “sem negociação de desconto”.

Os juros podem incidir de maneira diferente sobre um montante inicial de dinheiro. De acordo com esta forma, podem ser divididos em simples ou compostos.

[Imagem: FK Consultoria]

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JUROS SIMPLES

Para o cálculo dos juros simples, considera-se uma taxa que irá incidir apenas sobre o capital ou valor inicial, ou ainda chamado valor presente. A cada período n haverá um rendimento fixo e constante, considerando-se um mês como 30 dias. No caso de se considerar os 365 dias do ano (ou ainda 366 no caso de ano bissexto), 29, 30 ou 31 dias do mês, temos os chamados juros exatos.

Podemos calcular os juros simples através da seguinte fórmula:

J = C ∙ i ∙ n

.

Sendo J os juros simples (em reais ou outra moeda) a incidir sobre o capital C (nesta mesma moeda), em um número n de períodos, a uma taxa i. Tanto a taxa como número de períodos devem se referir a uma mesma unidade de tempo. Como exemplo:

1) Calcular os juros sobre um capital de R$ 1.000,00, por doze meses, a uma taxa de 2% a.m.

Aplicando nossa fórmula, temos J = R$ 1.000 ∙ 0,02 a.m. ∙ 12 meses = R$ 240,00

JUROS COMPOSTOS

Nos juros compostos, há a capitalização dos juros de um mês no mês seguinte. Na linguagem popular, são conhecidos como “juros sobre juros”, sendo de mais ampla utilização. Podem ser calculados da seguinte forma:

J = C ∙ [(1 + i)ⁿ – 1]

As variáveis são as mesmas que consideramos no cálculo dos juros simples (J, em reais ou outra moeda) sobre o capital C, em n períodos, a uma taxa i. Vamos a mais um exemplo:

2) Apliquei dois mil reais em um investimento com juros de 3% a.m pelo período de 50 meses. Quanto irei ganhar em juros?

Poderei responder a esta pergunta usando a fórmula para juros compostos, o que me leva a J = R$ 2.000 ∙ [(1 + 0,03)⁵⁰ – 1] = R$ 6.767,81.

CONVERSÃO DE TAXAS PARA JUROS SIMPLES

Taxas de juros e períodos precisam estar referenciados a um mesmo período de tempo. Quando isso não estiver acontecendo, ou o período deve ser corrigido, ou a taxa.

No caso de correção da taxa, usamos um fator de conversão:

i₂ = i₁ ∙ (P₁/P₂)

Sendo i₂ a taxa convertida, i₁ a taxa que temos disponível, P₁ a unidade de tempo a que se refere a taxa que queremos converter e P₂ é o número de períodos de tempo em que a unidade de tempo que queremos converter “cabe” no período de tempo de referência. Esclareçamos mais por meio de um exemplo:

3)  Tenho um empréstimo com juros simples de 2% a.m durante um ano. Qual a taxa anual de juros que irei pagar?

Aplicando nossa conversão, sabendo que um mês é igual a 1/12 de um ano, i₂ = 0,02 a.m ∙ [1 mês/ (1/12 de ano)] = 24% a.a.

CONVERSÃO DE TAXAS PARA JUROS COMPOSTOS

No caso dos juros compostos, 1% a.m é diferente de 12% a.a, em função da capitalização dos juros. Assim, é necessária outra equação matemática para obter a taxa, porém seguindo o mesmo princípio de quanto o período de tempo do qual a nova taxa i₂ irá se referir em relação ao período de tempo P₁ da taxa que temos.

As taxas são equivalentes, no caso dos juros compostos, quando produzem um mesmo montante (capital mais juros) ou ainda os mesmos juros num mesmo período de tempo. Assim:

J₂ = J₁

C ∙ [(1 + i₂)ⁿ² – 1] = C ∙ [(1 + i₁)ⁿ¹ – 1]

[(1 + i₂)ⁿ² – 1] = [(1 + i₁)ⁿ¹ – 1]

(1 + i₂)ⁿ² = (1 + i₁)ⁿ¹

i₂ = (1 + i₁)^n1/n2  - 1

Sendo i₂ a taxa a conhecer, i₁ a taxa conhecida, n1 a unidade de tempo correspondente à taxa conhecida e n2 quantas vezes o período da taxa a conhecer corresponde à unidade de tempo da taxa conhecida. Com mais um exemplo, podemos clarear esta ideia:

4) A quanto em taxa anual equivale a taxa de 1% a.m?

Vejamos a formulação acima, considerando que um mês é igual a 1/12 de ano. Com isso, i₂ = (1 + 0,01)^{1 mês/ 1/12 de ano}  - 1 = (1,01)¹² – 1 = 0,1268 = 12,68% a.a.

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