Matemática
Números inteiros, decimais, fracionários,
funções trigonométricas, grafos, vetores, integração e derivação. Cada conjunto
numérico ou operação matemática possui um campo de aplicação vasto, podendo ter
inter-relacionamento. Às vezes, pode não ser o resultado exato de uma divisão
que seja de interessa, mas sim o famoso ‘resto’ da divisão. Situações cíclicas,
complementação de valores, dígitos verificadores em códigos de barras e muitas
outras aplicações se utilizam da Aritmética Modular.
[Imagem: Local Bozo] |
Como notação básica, tem-se:
X ≡ Y mod Z
Onde se lê: X é congruente Y módulo Z, o
que significa que X e Y possuem o mesmo resto na divisão por Z. Algumas
propriedades importantes existem entre estes números:
1)
Se
um número é múltiplo de Z, será congruente 0 módulo Z;
2)
Sendo
X e Y não múltiplos de Z e tendo o mesmo resto nesta divisão, a diferença (X –
Y) ou (Y – X) é um múltiplo de Z, ou seja, (X – Y) ≡ 0 mod Z;
3)
Se
X ≡ Y mod Z e A ≡ B mod Z, (X + A) ≡ (Y + B) mod Z;
4) Para
saber quantos números em um intervalo deixam o mesmo resto na divisão por Z, ou
seja, são congruentes por um mesmo Y módulo Z, basta somar Z unidades ao
primeiro ‘X’ desta lista;
5)
Como resto na divisão por Z, tem-se apenas naturais variando de 0 a Z – 1. Da
mesma forma, Y varia entre estes valores.
Vejamos alguns problemas em que aplicamos
a aritmética modular (veja nos posts sugeridos o exemplo da data no futuro, uma
excelente e curiosa aplicação):
Ex
1)
Eu tenho um código de barras da Mestrelândia onde há 9 dígitos aleatórios e
outro dígito verificador. Esse dígito é dado pela base 11 (Z). Se estes
primeiros dígitos forem 1234489012, qual o décimo dígito?
R: Geralmente um dígito verificador parte
do resto da divisão pela soma dos demais algarismos, Assim, neste caso,
1+2+3+4+4+8+9+0+1+2 = 34 ≡ 1 mod 11. Por esta regra, o dígito verificador seria
1.
Ex
2)
Se agora são 16:00, que horas serão quando se passarem 434 horas?
R: Neste caso, trabalhar com horas não faz
muito sentido. Assim, podemos pensar como valor de Z o número 24, que
corresponde a um dia. 434 ≡ 2 mod 24, ou seja, além de 18 dias inteiros,
passar-se-ão mais duas horas – destarte, serão 18:00.
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