Propriedades da média e do espelho nas progressões aritméticas

As progressões aritméticas, que são sequências numéricas em que um termo é igual ao anterior mais uma constante fixa chamada de razão possuem algumas propriedades interessantes, como a propriedade da média e a propriedade do espelho. Estas propriedades nos permitem descobrir os demais termos da sequência e/ou a razão de uma PA, se esta for desconhecida.

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A propriedade da média nos diz que cada termo de uma progressão aritmética é igual à média do anterior e do posterior. Suponhamos que o termo é questão é a, seu anterior é b e seu termo posterior é c, sendo a razão desta PA o valor r. Podemos afirmar que:

a = b + r

c = a + r

Transformando as equações por substituição de r, temos:

c - a = r

a = b + c - a

2a = b + c

a = (b + c)/2

Outra propriedade interessante das PA’s é a do espelho. Para quaisquer termos equidistantes do termo central de uma progressão aritmética, a soma é uma constante e igual à soma dos extremos. Suponhamos uma PA com n termos: o seu k-ésimo termo terá como termo equidistante do termo central o termo n – k + 1. Escrevendo ambos em termos do primeiro termo da PA, temos:

a_k = a₁ + (k – 1)r

a_{n – k + 1} = a₁ + [(n - k + 1) – 1)]r

Fazendo a soma dos termos-espelho:

a_k + a_{n – k + 1} = a₁ + (k – 1)r + a₁ + [(n - k + 1) – 1)]r

a_k + a_{n – k + 1} = 2a₁ + (k – 1)r + [(n - k + 1) – 1)]r

a_k + a_{n – k + 1} = 2a₁ + (k – 1)r + (n - k)r

a_k + a_{n – k + 1} = 2a₁ + (k – 1 + n - k)r

a_k + a_{n – k + 1} = 2a₁ + (n – 1)r

Agora, se o valor k for igual a 1 e a n, que são os extremos da PA e também são valores espelho, temos que a_k = a₁ + (k – 1)r, ou seja, a₁ = a₁ + (1 – 1)r e a_n = a₁ + (n – 1)r. Somando os dois temos 2a₁ + (n – 1)r, que é igual à soma dos demais termos espelho, como queríamos demonstrar.

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