As progressões aritméticas e a soma dos números de 1 a 100

A soma dos números de 1 a 100 é um desafio bastante simples nos dias atuais, onde se produz muitos materiais e técnicas novas no mundo da Matemática. Mas, à época de Carl Friedrich Gauss, não. Durante uma dada aula, vendo que os alunos de sua classe estavam fazendo a maior algazarra, o professor de Gauss propôs um desafio, para quem primeiro dissesse qual era esta soma, se surpreendendo com a rapidez da resposta de seu aluno e de que seu princípio matemático estava absolutamente certo.

Para falar sobre esta soma, começaremos pelo princípio básico dela, que é a progressão aritmética. Dada uma sequência numérica com n termos (a₁, a₂, a₃,... , a_{n - 1}, a_n), n pertencente aos naturais exceto o número um, uma progressão aritmética é aquela em que um termo a_k qualquer é igual à soma do anterior mais uma razão r ou, em termos gerais, igual ao primeiro termo mais (k – 1)r:

a_k = a₁ + (k – 1)r ou

a_k = a_{k - 1} + r

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Tendo uma sequência em progressão aritmética, na forma (a₁, a₂, a₃,... , a_{n - 1}, a_n), se queremos saber qual a soma S de todos os termos até uma dada posição n, podemos usar a seguinte estratégia: somando o termo espelhado na sequência, ou seja, a₁ + a_n, a₂ + a_{n - 1}, ... a_n + a₁, e fazendo um somatório de todos estes termos resultantes, obrigatoriamente teremos de ter duas vezes a soma dos termos da progressão até esta dada posição n.

a₁ + a_n  = a₂ + a_{n - 1} = ... = a_n + a₁

a₁ + a_n  = (a₁ + r) + (a_n - r) = ... = a_n + a₁

S = Ʃ ⁿ _{i = 1} a_i = ½ • n(a₁ + a_n)

Com esta estratégia, conseguimos ver que a soma S procurada é igual à metade da soma de todos os termos equidistantes. A sequência dos números naturais de 1 a 100 é uma progressão aritmética cuja razão r é igual a 1 e 100 é justamente o 100º número da sequência. Assim, a soma dos números de 1 a 100 é dada por:

S = ½ • 100(1 + 100) = 5050.

Para os números naturais, podemos simplificar esta fórmula para:

S = Ʃ ⁿ _{i = 1} a_i = ½ • n(n+ 1)

Sua validade é para todo número natural n exceto zero, sendo demonstrável pelo Princípio da Indução Matemática, mas este já é outro assunto...

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