Como resolver uma equação biquadrada de forma simples?

Matemática

Até o quarto grau, é possível resolver equações usando as relações de Girard entre coeficientes e raízes, em sistemas não lineares; fatorando ou usando a tradicional fórmula de Báskhara, que é a forma mais simples para resolvermos uma equação biquadrada, que permite até 2 pares de raízes reais ou imaginárias. Mas, como a fórmula de Báskhara serve apenas para equações do segundo grau, será necessário transformar a biquadrada em quadrática.

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>> O relógio dos noves;

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Digamos que temos uma função da forma ax₄ + bx₃ + cx₂ + dx + e, em que b=d=0. Assim, temos, mais simplificadamente, a função ax₄ + cx₂ + e. Tendo esta função dois pares de raízes duplas, cada um destes pares possui um mesmo valor exato se elevados ao quadrado, que, se for elevado novamente ao quadrado e substituído na expressão acima corresponde à igualdade. Então, o passo intermediário é encontrar os quadrados destes pares de raízes, os quais chamaremos de t₁ e t₂.

Destarte,

t₁ = x₁²; t₁ = x₂²; t₂ = x₃²; t₂ = x₄².

Então, substituiremos a nossa incógnita por t, obtendo a equação at² + ct + e, cujas raízes são t₁ e t₂. Depois, usando as relações acima, obteremos todas as 4 raízes.

Ex 1: Quais são as raízes da equação x⁴ -3x² -4?

Chamando x² de t, temos:

t² -3t -4

Δ = (-3)2 -4(1)(-4) = 25

t = (3±√25)/2

t₁ = 4; t₂ = -1.

Agora, retornando ao caminho original,

t₁ = x₁² ou x₂², então x₁ e x₂ = ±√4 = ±2

t₂ = x₃² ou x₄² 2, então x₃ e x₄ = ±√-1 = ±i

Portanto, temos o conjunto solução,

S= {-2, +2, i, -i}.

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