Propriedades e operações com vetores II

Combinação linear é a descrição de um vetor em termos da soma de múltiplos escalares de outros vetores. Todos os vetores são, independentemente das suas componentes, combinações lineares de outros vetores. Exemplo:

Dados V^T = (1 -1 0),  V₁^T = (3  4  -2),  V₂^T = (1 -2 0)  e V₃^T = (0 0 1); a combinação linear dos três é dada pela igualdade: 

V^T = x₁(3 4 -2) + x₂(1 -2 0) + x₃(0 0 1)

V^T = x₁V₁^T + x₂V₂^T + x₃V₃^T.

A generalização deste fato é dada por V^T = Σⁿ_i=1 x_iV_i^T.

Um caso especial é o da combinação linear por vetores canônicos, em que x₁, x₂, x₃ ... x_n são as próprias componentes do vetor original. Exemplo:

V^T = (1 4 5) = 1(1 0 0) + 4(0 1 0) + 5(0 0 1)

Como dissemos no post ‘Propriedades e operações com vetores I’, dois vetores são paralelos ou colineares se um for múltiplo escalar do outro. Este é um caso especial de combinação linear, em que um vetor V^T = αU^T = x₁U^T. Neste caso, os vetores possuem mesma direção e sentido, e a norma do vetor V é igual a α vezes a norma do vetor U. Exemplo:

1 – Dado o vetor A^T = (1  -1  2), determine um vetor B^T na mesma direção e sentido de A tal que ll B ll = 1.

Resolução: O vetor B é múltiplo escalar de A. Dessa forma, o vetor B é da forma α(A) e a norma do vetor B é igual a α ll A ll. Então:

ll A ll = (1² + (-1)² + 2²)^½ = 6^½.

ll B ll = α ll A ll

1 = 6^½α

α = 1/6^½

E assim, definindo o vetor B pela fórmula acima (B^T = Σⁿ_i=1 x_iA^T), obtemos

B^T = (1/6^½ -1/6^½ 2/6^½) □

O Produto interno de vetores é dado pela forma U^TV e resulta em um número (grandeza escalar). Aplicando esta ideia à norma de vetores, podemos definir ll v ll para um vetor v qualquer como:

ll v ll = (v^Tv)^½ □

 O Produto exterior ou externo de vetores é o produto de dois vetores V e U^T que gera uma matriz de ordem correspondente ao número de componentes de V, quadrada. Este produto é dado por VU^T.

O produto vetorial entre dois vetores é um terceiro tipo de produto possível, em que o resultado é um terceiro vetor, ortogonal aos demais, ou seja, o vetor gerado neste produto forma pares de ângulos de noventa graus com os demais. Este terceiro vetor é denotado da seguinte maneira: W^T = (U x V)^T = (d₁ d₂ d₃ ... d_n)  [leia-se W transposto igual a U vetorial V transposto]. As componentes d₁, d₂, d₃, ... e d_n de W^T são calculadas usando discriminantes com as componentes de U e V que não possuam o mesmo índice da componente que se deseja calcular. Em um produto escalar no R³, este vetor W^T é da forma (d₁ d₂ d₃) em que:

d₁ = x₁(u₂v₃ – u₃v₂), d₂ = – x₂(u₁v₃ – u₃v₁) e d₃ = x₃(u₁v₂ – u₂v₁).

Num primeiro momento, esta expressão pode parecer muito complicada, mas observe que cada componente do vetor é o produto entre uma variável x_n vezes o discriminante de uma matriz de ordem 2 em que não aparecem as componentes de mesmo índice de x. No caso de x₂, o sinal é negativo.

W^T = [x₁(u₂v₃ – u₃v₂)   – x₂(u₁v₃ – u₃v₁)   x₃(u₁v₂ – u₂v₁)]

Construindo um paralelepípedo com lados ll U ll, ll V ll e ll W ll; (sendo U, V e W os vetores do exemplo acima) a área deste sólido geométrico é dada pelo produto da norma dos três, pois, como vimos, U, V e W são ortogonais.

Nos próximos posts, veremos o produto misto de vetores, a área do paralelogramo e do paralelepípedo descritos por vetores no R² e no R³.

* Usamos vetores na forma V^T para facilitar o desenvolvimento das notações e raciocínios aqui usados em um espaço mais reduzido, sem afetar o conteúdo. Se preferir, Escreva os vetores sem a transposição para ver estas propriedades.  

Veja também: (Tecnologia e Softwares) Linguagem Algorítmica (II)