Como resolver uma equação biquadrada de forma simples?

watch_later 10 de maio de 2014
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Matemática

Até o quarto grau, é possível resolver equações usando as relações de Girard entre coeficientes e raízes, em sistemas não lineares; fatorando ou usando a tradicional fórmula de Báskhara, que é a forma mais simples para resolvermos uma equação biquadrada, que permite até 2 pares de raízes reais ou imaginárias. Mas, como a fórmula de Báskhara serve apenas para equações do segundo grau, será necessário transformar a biquadrada em quadrática.


Digamos que temos uma função da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, em que b=d=0. Assim, temos, mais simplificadamente, a função ax4 + cx2 + e. Tendo esta função dois pares de raízes duplas, cada um destes pares possui um mesmo valor exato se elevados ao quadrado, que, se for elevado novamente ao quadrado e substituído na expressão acima corresponde à igualdade. Então, o passo intermediário é encontrar os quadrados destes pares de raízes, os quais chamaremos de t1 e t2.
Destarte,
t1 = x1²; t1 = x2²; t2 = x3²; t2 = x4².
Então, substituiremos a nossa incógnita por t, obtendo a equação at² + ct + e, cujas raízes são t1 e t2. Depois, usando as relações acima, obteremos todas as 4 raízes.

Ex 1: Quais são as raízes da equação x4 -3x2 -4?
Chamando x² de t, temos:
t² -3t -4
Δ = (-3)2 -4(1)(-4) = 25
t = (3±√25)/2
t1 = 4; t2 = -1.
Agora, retornando ao caminho original,
t1 = x1² ou x2², então x1 e x2 = ±√4 = ±2
t2 = x3² ou x4² 2, então x3 e x4 = ±√-1 = ±i
Portanto, temos o conjunto solução,
S= {-2, +2, i, -i}.


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