Conheça algumas das diferentes formas de calcular a área de triângulos

Matemática

Triângulos são a unidade fundamental dos polígonos, podendo quaisquer polígonos de mais vértices ser decompostos em triângulos. Dessa forma, conhecer relações entre áreas, ângulos, matrizes e semelhança de triângulos é uma boa opção para desenvolver uma boa parte dos problemas envolvendo estas grandezas. A seguir, as diferentes formas de calcular estas áreas, de acordo com os dados de um triângulo que você tiver (de acordo com a figura abaixo):
[Retire desta imagem a notação para as fórmulas a seguir. Imagem: O Blog do Mestre]



Lados a e b, ângulo entre a e b: com estes dados, se pode calcular a área de um triângulo, usando o seno do ângulo dado, através da fórmula:

A = (1/2) · a · b · sen(α)

Quando o ângulo entre os lados a e b for de 90º, temos a regra geral da área de um triângulo, que é a metade do produto base vezes altura.

Lados a, b, e c: com estes dados, e sem nenhuma informação a respeito de ângulos, usaremos a fórmula de Heron:

p = (a + b + c) / 2
A = √(p · (p - a) · (p - b) · (p - c))

Lados a, b, e c, ambos de mesma medida: neste caso, há uma simplificação:

A = (1/4) · l² · √3

Lados a’, b’ e c’, ângulo entre a’ e b’ de um triângulo semelhante e uma das dimensões (a, b ou c) do triângulo de que se quer saber a área: dois triângulos são semelhantes se mantiverem os mesmos ângulos internos e uma relação de proporção entre suas dimensões, chamada razão de semelhança, que é dada pela razão entre uma dimensão pela outra R = a’/a = b’/b = c’/c. Calculando-se a área do triângulo semelhante do qual se têm dados suficientes, temos:

A’ = área do triângulo de dados conhecidos;
A = área que se quer saber;
R = razão de semelhança.
Então,
R² = A’/A
A = A’/R²

Coordenadas dos três pontos dos vértices de um triângulo: quando três pontos estão no espaço, ou compõem uma reta, ou um triângulo. Quando compõem uma reta, temos área zero, senão temos área não nula. Para iniciar, construímos uma matriz de linhas l1 = | x1 y1 1|, l2 = | x2 y2 1| e l3 = | x3 y3 1|. Então, temos:

A = (1/2) · det|M| para det|M| sendo o determinante da matriz M com as linhas 1, 2 e 3
A área de um triângulo de coordenadas cartesianas conhecidas é o semideterminante de seus pontos.

Algumas considerações importantes:

1 - A fórmula de razão de semelhança serve para quaisquer figuras semelhantes. Ela permite, por exemplo, definir a escala de uma figura conhecidas as áreas da representação e a original.
2 - O ângulo entre dois alinhamentos pode ser conhecido usando uma relação como a fórmula de Heron e outra fórmula que contenha ângulos, como a Lei dos Cossenos (d² = a² + b² - 2ab · cos(α))ou a fórmula da área de um triângulo conhecidos dois lados.

3 – O semideterminante define a condição de linearidade de três pontos. Para calcular o determinante, é mais simples usar a regra de Sarrus, compondo duas novas colunas com os elementos da primeira e segunda colunas. Feito isso, calcula-se o produto das diagonais principais (à favor, por isso com sinal mantido) e das diagonais secundárias (o que é do contra prefere trocar de sinal) .

Você também pode gostar de: (Matemática) O desafio dos 100





Þ Gostou desta postagem? Usando estes botões, compartilhe com seus amigos!

Nenhum comentário:

Seu comentário será publicado em breve e sua dúvida ou sugestão vista pelo Mestre Blogueiro. Caso queira comentar usando o Facebook, basta usar a caixa logo abaixo desta. Muito obrigado!

NÃO ESQUEÇA DE SEGUIR O BLOG DO MESTRE NAS REDES SOCIAIS (PELO MENU ≡ OU PELA BARRA LATERAL - OU INFERIOR NO MOBILE) E ACOMPANHE AS NOVIDADES!

Tecnologia do Blogger.