Ajuste por Mínimos Quadrados para funções lineares.

Para qualquer tipo de função

 

O método dos mínimos quadrados pode ser utilizado para qualquer tipo de função, podendo ser restrito para funções lineares e polinomiais. Os métodos de ajuste por mínimos quadrados são técnicas usadas para dados experimentais, geralmente, em que se deseja obter uma função que melhor se adapte a estes dados, seguindo a tendência que estes demonstram. Um ajuste por mínimos quadrados linear é requerido quando os pontos assumem uma distribuição que se assemelha a uma reta. O mesmo ocorre nos demais casos, em que pode observar qual a tendência que os pontos assumem, ou, conhecida uma expressão matemática que reja o fenômeno, encontrar a curva de ajuste baseada na forma genérica desta expressão.
Suponhamos que foi feita uma coleta de dados de um fenômeno regido por uma função linear. Fazendo uma tabela de dados:

xk || x1 | x2 | x3 ... | xm |
yk || y1 | y2 | y3 ... | ym |

Temos que estes dados, portanto, são regidos pela função y(x) = a + bx. Supondo que são conhecidos estes coeficientes a e b, existe uma distância entre os valores de y obtidos experimentalmente em relação aos valores de y que seriam obtidos ao substituir o x experimental correspondente. Esta distância, para servir como parâmetro, deve ser elevada ao quadrado, pois se usássemos apenas seu módulo, no processo seguinte, onde é necessária uma otimização, teríamos uma função derivada da função módulo, que apresenta descontinuidade. Para cada ponto, então, a distância entre a função de ajuste e o y experimental é:

d = [(axk + b) - yk

Mas não basta ter o distanciamento apenas entre um ponto e a melhor reta, para encontrar a e b. Então, usa-se a função φ:

φ (a, b) = Σmk=1 [(axk + b) - yk

Como se quer que as distâncias d entre o ponto experimental e o ponto correspondente do domínio para a melhor reta, temos de otimizar esta função para que seja um mínimo. Sendo o valor da função φ um número positivo, sempre existirá um valor mínimo pelos axiomas da matemática. Para ter um mínimo, as derivadas parciais φ’(a) e φ’(b) devem ser iguais à zero. Assim, considerando a propriedade de que a derivada da soma é a soma das derivadas, sendo Σ uma soma de parcelas que seguem uma regra de formação, tem-se:

φ’(a) =  Σmk=1 2[(axk + b) - yk ] · xk = 0 e
φ’(b) =  Σmk=1 2[(axk + b) - yk ] = 0

Separando as parcelas dos somatórios, tem-se:

a ( Σmk=1 [xk²]) + b Σmk=1 [xk]  = Σmk=1 [yk · xk]
a ( Σmk=1 [xk]) + bm  = Σmk=1 [yk]

O que equivale a um sistema linear 2x2, pois os x’s e os y’s não são variáveis – são os dados em que se busca a curva de ajuste. Estas equações são chamadas de equações normais. Nó próximo post desta série, veja os ajustes por Mínimos Quadrados para funções polinomiais.

 


 


 

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