Princípios Básicos do Excel (IV)

watch_later 11 de outubro de 2012

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Neste post veremos como calcular integrais e derivadas usando o Excel.
A função derivada nada mais é do que a inclinação da reta tangente à curva em um dado ponto. Costumamos calculá-la por um limite, o que não se aplica ao Excel. Usamos a taxa de inclinação média, dada por [f(b) – f(a) / b – a]
Tabelamos os valores de x e F(x). Em seguida, usando uma função apropriada, tabelamos os valores de F’(x).
Começamos tabelando os valores de x, para F(x) usaremos a função x2 + 2x + 1, que representamos como =A3^2 + 2*A3 + 1, e usamos o endereçamento relativo para os demais valores. Tendo a função pronta:


Estabelecemos uma nova coluna, a qual chamaremos de F’(x). Na primeira célula desta, usaremos uma função que represente o quociente [f(b) – f(a) / b – a], que é =(B3-B2)/(A3-A2). Assim, temos valores para F’(x) em um ponto. Copiando a função para as demais células, teremos vários valores para a derivada em tais pontos, que será mais precisa à medida que o intervalo do domínio for menor. O último valor será desconsiderado, por não sabermos qual o valor seguinte de F(x).


Plotamos um gráfico e veremos duas curvas, a da função F(x) e a da sua derivada F’(x). O gráfico azul é da primitiva e o vermelho da derivada.


Clicando sobre a curva e escolhendo o menu adicionar linha de tendência, se pode obter a função que rege esta curva. No gráfico que aparecer, escolhemos o tipo de curva que mais está de acordo com a função que desejamos: linear, polinomial (devemos dizer qual o grau desejado e observar. Além disso, a opção exibir R ao quadrado deve ser escolhida pois, se a função descrita pelo Excel for a mais próxima do gráfico, R ao quadrado é aproximadamente ou igual a 1.



 Para calcular a função integral, a única diferença é que usamos as somas de Riemann, de preferência com os pontos médios como pontos amostrais. Δx é dado pela diferença entre os valores de x consecutivos. Calcularemos cada valor da função integral, pela fórmula: [(f(x) + f(x+1))/2] ∙ Δx + f(x -1).
Dada a função anterior, x2 + 2x + 1, deletamos a terceira coluna e a substituímos pela coluna Integral. No primeiro valor, digitamos 0, pois não há área sob a curva de um mesmo extremo a outro. A função que descreve a integral seguindo a regra acima é =(B3/2 + B2/2)*($A$3-$A$2)+C2. Copiamos o padrão de função, mantendo o valor de Δx . Repetindo os mesmos passos para a derivada, temos o gráfico da Integral:


 

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Não consegui compreender o significado desses valores da coluna integral. O valor de cada uma encontrado é como se fosse a integral da função de X até X+1? Por exemplo, a integral de 1 até 1,1 seria 0,4205? Fiz o teste manual e não foi este valor que encontrei

delete 4 de abr de 2017 22:18:00
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Caro @Blog8c5, a coluna integral equivaleria a uma integral com um limite de x = a fixo e um valor de b, acumulado em intervalos Δx fixos, flutuante. À medida que esse Δx diminui, a precisão do valor obtido pelas somas de Riemann aumenta, até chegar ao limite que equivale à própria integral. Pode parecer simples a técnica, mas os métodos numéricos são úteis, principalmente diante de funções transcendentais mais complexas de achar a função integral explícita.
Em outras palavras, a coluna integral equivale à integral desde o valor 'x' inicial até aquele ponto.

delete 13 de abr de 2017 22:48:00

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