Como saber se um conjunto é Linearmente Independente

watch_later 5 de outubro de 2012
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Um conjunto é dito linearmente independente se não for possível a existência de um vetor que compõe esta conjunto ser escrito como combinação linear dos demais. É importante reconhecer esta característica em um conjunto, a fim de poder definir bases de espaços e subespaços vetoriais. A definição de um conjunto linearmente independente é a seguinte: dado um conjunto A = {v1; v2; v3; ... ; vk}, este conjunto é linearmente independente se a única combinação linear dos vetores de A (av1 + bv2 + cv3 + ... + nvk) quando esta é igual ao vetor nulo, ocorre quando a=b=c=...=n=0.
Exemplos:

1 – A={(1  2  4), (2  5  0)} é LI (Linearmente independente)?
Pela definição, somente se a=b=0, para a(1  2  4) +b(2  5  0) = (0  0  0). Assim, (a  2a  4a) + (2b  5b  0) = (a + 2b   2a + 5b   4a) = (0  0  0). Para que a igualdade seja verdadeira, 4a = 0 Þ a =0; 2 ∙ 0 + 5b = 0, 5b = 0 Þ b = 0. Desta forma, o sistema admite somente a solução trivial, com todos os coeficientes iguais a zero.

2 -  C = {(1  2), (3  6), (5 7)} é LI?
Seguindo o mesmo raciocínio, a(1  2) + b(3  6) + c(5 7) = (0  0) = (a  2a) + (3b  6b) + (5c  7c) Þ a + 3b + 5c = 0, 2a + 6b + 7c = 0. Escalonando o sistema, a + 3b + 5c = 0, -3c =0 Þ c = 0, a = -3b. Como b, variável livre, admite infinitos valores, b E IR, não admitindo apenas a solução trivial, C é LD (Linearmente Dependente).

Há algumas regras (teoremas) que permitem facilitar a definição de um conjunto linearmente dependente ou independente, entre elas, o vetor nulo sempre compõe conjuntos linearmente dependentes, pois este vetor possui a propriedade de sempre poder ser escrito como combinação linear de outros vetores. Havendo um vetor que é múltiplo escalar de outro dentro de um mesmo conjunto, faz com que este seja LD.
Bases são conjuntos dos quais, feitas todas as combinações lineares de seus elementos (no caso, vetores), se obtém todos os vetores de um espaço ou subespaço vetorial. O número de vetores nestes conjuntos é fixo, de acordo com os espaços e subespaços gerados, e igual para todas as bases de um mesmo espaço vetorial. Este número é chamado dimensão, e é denotado por dimV. Todo conjunto de vetores, cujos elementos pertençam a um espaço V, somente é LI se possuir número de vetores menor ou igual à dimensão de V. Exemplo:

3 – D = {[1  0  0],  [0  1  0], [0  0  1]}, D E M1 x 3 (IR), (base canônica) é LI?
Sim, pois a[1  0  0] + b[0  1  0] + c[0  0  1] = [0  0  0], se, e somente se, a=b=c=0. Ademais, dimM1 x 3 (IR) = 3, o mesmo número de vetores deste espaço vetorial.

4 – E = {(3  4  0  0), (2  2  1  9), (4  6  8  9), (1  0  0  0), (0  0  1  2)}, E pertence ao IR3, é LI?
Não, pois dim IR3 = 3, e E possui 4 vetores sendo, obrigatoriamente, LD.

Um dispositivo prático para descobrir se um conjunto é linearmente independente é montar uma matriz em que cada linha é o vetor (ou seu vetor-coordenada, no caso de matrizes e polinômios). Após montada esta matriz, se deve escaloná-la, até que o número de zeros iniciais, antes do primeiro número não nulo, seja diferente em cada linha. Por exemplo:

1  1  2  0
0  2  1  3
0  0  4  5
0  0  8  10

O número de zeros iniciais se repete em duas linhas, logo, o escalonamento pede mais uma etapa. Assim:

1  1  2  0
0  2  1  3
0  0  4  5
0  0  0  0

Agora, encerrado o escalonamento, observamos duas características: 1ª: o número de zeros iniciais é diferente em todas as linhas? Sim. 2ª: Há linhas nulas nesta matriz? Há, o que indica que um vetor era combinação linear dos demais. Logo, o conjunto arbitrário deste exemplo é LD.
Saiba mais sobre vetores, acessando o menu Matemática, na barra lateral. □ 

Veja também: (Arte) Picasso & Guernica
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