Equações de Primeiro Grau, Quadráticas e Biquadradas. (II)

watch_later 19 de agosto de 2012
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As equações de quarto grau recebem um nome especial: biquadradas. As funções que representam, da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,  indicam a inclinação das retas tangentes à curva de funções de quinto grau, ou seja, são derivadas das funções de quinto grau. Sua resolução passa pela decomposição em binômios, como mostraremos mais adiante, ou, se a equação biquadrada for da forma ax4 + cx2 + e = 0, adotamos uma regra especial:

I)  Use uma incógnita auxiliar, z por exemplo, e atribua a z o valor de x2;
II) Substituindo z na fórmula geral da equação biquadrada incompleta que queremos resolver, teremos az2 + cz + e = 0, mantendo a igualdade e gerando uma equação que já conhecemos;
III) Usando as fórmulas do discriminante e de Bhaskara, encontre os valores de z (z1 e z2);
IV) Fazendo z1 = x2 e z2 = x2, encontre todas as raízes da equação biquadrada, lembrando que estas são, no máximo, quatro.
Exemplo:

4 – x4 – 5x2 + 6= 0
Usando a uma incógnita auxiliar, z por exemplo, então a z = x2
z2 – 5z + 6= 0
Δ = (- 5)2 – 4 ∙ 1 ∙ 6.
Δ = 1  (esta equação possui duas raízes reais, portanto)



z1 =  2, z2 = 3.
Igualando os z’s a x, temos que mais ou menos raiz quadrada de dois e mais ou menos raiz quadrada de três são as raízes de x4 – 5x2 + 6= 0:






Agora, você deve ter ficado em dúvida se não há outros métodos de resolução de equações que não sejam assim tão comportadas. Existem, e um deles é a decomposição por fatores, binômios de primeiro grau, em que ficam evidenciadas as raízes e o grau, ainda assim, dos polinômios.
Suponhamos a equação x2 + 2x + 1 = 0. Sabendo que uma das raízes é -1, qual a outra raiz? (Não vale usar discriminante e Bhaskara). Para resolver esta questão, aplicamos a divisão de polinômios, encontrando os fatores (x + 1) ∙ (x + 1) = 0. Desta forma, fica visível que a equação é do segundo grau, bem como que -1 é raiz dupla. Agora, confira o resultado pelos métodos tradicionais. Usando o exemplo 3 do post anterior sobre este assunto, poderíamos enunciar x2 – 5x + 6= 0 como (x - 2) (x – 3) = 0 indicando que 2 e 3 são raízes desta equação quadrática. Ou seja, podemos escrever polinômios na forma (ax - m) (bx - n)... (kx – z) = 0, em que a, b ... k são constantes maiores ou iguais a 1 e m,n ... z são raízes (se as constantes forem iguais a 1) da equação, ou temos que m/a, n/b ... k/z como as raízes ou zeros do polinômio.
No caso de funções afins do tipo ax + b = 0 ou lineares (se b = 0), temos as equações já descritas desta forma intuitiva: (2x + 15) = 0 ou (x + 15/2) = 0.
 Podemos usar esta técnica para resolver equações incompletas de segundo grau, ou seja, que não possuem algum termo. Se forem da forma ax2 + bx = 0 (c = 0), podemos resolvê-las fatorando, obtendo um produto da forma x ∙ (ax + b) = 0, em que zero e –b/a (conforme vimos acima) serão as raízes desejadas.

5 – x2 – 4x= 0
x (x – 4) = 0
S = {0, 4}. □

Agora, falaremos das Relações de Girard, que são entre os coeficientes e as raízes de equações polinomiais dos mais diferentes graus. Iremo-nos ater do segundo ao quarto graus.
Relembrando a forma geral das equações polinomiais:

P(x) = axn + bxn – 1 + cxn – 2 + dxn – 3 + ... + x 1 + x0

As equações de segundo grau são da forma:

ax2 + bx + c = 0

E possuem, portanto, duas raízes. As relações de Girard vão agrupando as raízes ou zeros somando-as primeiramente uma a uma, depois em produtos de duas a duas, três a três, e assim sucessivamente; e relacionando-as com os coeficientes do polinômio, de acordo com o número máximo de combinações. Veja e entenda melhor:

ax2 + bx + c = 0, S = {x1, x2}

x1 + x2 = -b/a
x1 ∙ x2 = c/a

Nas equações de 2º grau, assim se relacionam as raízes x1 e x2. Já em uma equação de terceiro grau:

ax3 + bx2 + cx + d = 0, S = {x1, x2, x3}

x1 + x2 + x3 = -b/a.
(x1 ∙ x2) + (x1 ∙ x3) + (x2 ∙ x3) = c/a.
x1 ∙ x2 ∙ x3 = -d/a.

Se você ainda não perceber qual a regra de formação das Relações de Girard, veja com uma equação de quarto grau:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, S = {x1,x2,x3,x4}

x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a.
(x1 ∙ x2) + (x1 ∙ x3) + (x1 ∙ x4)+ (x2 ∙ x3) + (x2 ∙ x4) + (x3 ∙ x4) = c/a
(x1 ∙ x2 ∙ x3) + (x1 ∙ x2 ∙ x4) + (x1 ∙ x3 ∙ x4) + (x2 ∙ x3 ∙ x4) = - d/a.
x1 ∙ x2 ∙ x3  ∙ x4  = e/a. 

Estas relações possuem maior validade prática se forem conhecidas algumas das raízes, pois cada vez mais se torna complexo encontrar raízes deste modo. Busque entender (não decorar, pois é desnecessário) a regra de formação destas relações, que é intuitiva, pois podem ser mais uma ferramenta na resolução de equações. □ 

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Muito bom, excelente. Ajudou muito

delete 27 de nov de 2014 11:55:00
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Maxwell, seja bem-vindo aO Blog do Mestre e saiba que o desejo do Blog é poder compartilhar diversão e conhecimento. Estou feliz em poder ter ajudado.

O Mestre Blogueiro.

delete 27 de nov de 2014 13:50:00

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