Condições de contorno

Matemática

Cada função contém apenas uma outra função que a caracteriza, indicando sua taxa de variação. Esta função é chamada de função derivada. Porém, se buscamos saber a qual função corresponde uma derivada, nos deparamos com uma família de funções. Como surge este problema? Que considerações fazer?

>> Definição de Integral

>> Integração por partes e a integral de ln (x).

>> Função Recíproca

Pelas regras da derivação, ao derivarmos uma função F(x) + C, sendo C uma constante, obteremos uma função f'(x). Se C = 0, temos a mesma derivada. Isto se deve ao fato de a constante ser acrescida a todos os pontos, não contribuindo para a variação da função, apenas deslocando o gráfico.

Pensando pelo raciocínio oposto, ao integrar uma função, há inúmeras integrais, todas da forma F(x) + C. Dependendo de qual o problema, temos as seguintes soluções:

- Quando desejamos saber uma integral definida, consideramos sempre que C = 0, restringindo apenas a uma solução, respeitadas as condições e limites de integração.

Exemplo: Integrar a função f(x) = 2x + 7 no intervalo de -1 a 5.

ʃ_-1⁵ (2x + 7)dx = [ x² + 7x ] _-1⁵ = [25 + 35] – [1 – 7] = 66

- Quando desejamos saber qual a função integral (integral indefinida), consideraremos o conjunto de funções que atendem à mesma derivada. Depois, definir-se-á a constante C específica.

Exemplo: Integrar a mesma função f(x) = 2x + 7, calculando sua integral indefinida, e obtendo o valor da Constante C.

Fazemos o mesmo procedimento, considerando a constante C:

F(x) = ʃ(2x + 7)dx = x² + 7x + C.

Agora, o enunciado pede para definir C. Mas, como sabê-la se não tenho nenhuma informação adicional? É aí que vêm as condições de contorno, como essa: F(0) = 1.

Substituindo os valores, tem-se:

F(0) = 0² + 7 · 0 + C = 1

Destarte, C = 1

Para sucessivas integrações, é preciso ter uma condição de contorno para cada constante a ser descoberta, de modo a formar um sistema linear possível de ser resolvido.

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