Matemática
Cada função contém apenas uma outra função
que a caracteriza, indicando sua taxa de variação. Esta função é chamada de
função derivada. Porém, se buscamos saber a qual função corresponde uma
derivada, nos deparamos com uma família de funções. Como surge este problema?
Que considerações fazer?
Pelas
regras da derivação, ao derivarmos uma função F(x) + C, sendo C uma constante,
obteremos uma função f'(x). Se C = 0, temos a mesma derivada. Isto se deve ao
fato de a constante ser acrescida a todos os pontos, não contribuindo para a
variação da função, apenas deslocando o gráfico.
Pensando
pelo raciocínio oposto, ao integrar uma função, há inúmeras integrais, todas da
forma F(x) + C. Dependendo de qual o problema, temos as seguintes soluções:
-
Quando desejamos saber uma integral definida, consideramos sempre que C = 0,
restringindo apenas a uma solução, respeitadas as condições e limites de
integração.
Exemplo: Integrar a função f(x) = 2x + 7
no intervalo de -1 a 5.
ʃ-15 (2x + 7)dx = [ x²
+ 7x ] -15 = [25 + 35] – [1 – 7] = 66
- Quando desejamos saber qual a função
integral (integral indefinida), consideraremos o conjunto de funções que
atendem à mesma derivada. Depois, definir-se-á a constante C específica.
Exemplo: Integrar a mesma função f(x) = 2x
+ 7, calculando sua integral indefinida, e obtendo o valor da Constante C.
Fazemos o mesmo procedimento, considerando
a constante C:
F(x) = ʃ(2x + 7)dx = x² + 7x + C.
Agora, o enunciado pede para definir C.
Mas, como sabê-la se não tenho nenhuma informação adicional? É aí que vêm as
condições de contorno, como essa: F(0) = 1.
Substituindo os valores, tem-se:
F(0) = 0² + 7 · 0 + C = 1
Destarte, C = 1
Para sucessivas integrações, é preciso ter
uma condição de contorno para cada constante a ser descoberta, de modo a formar
um sistema linear possível de ser resolvido.
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