O método dos mínimos quadrados pode ser
utilizado para qualquer tipo de função, podendo ser restrito para funções
lineares e polinomiais. Os métodos de ajuste por mínimos quadrados são técnicas
usadas para dados experimentais, geralmente, em que se deseja obter uma função
que melhor se adapte a estes dados, seguindo a tendência que estes demonstram.
Um ajuste por mínimos quadrados linear é requerido quando os pontos assumem uma
distribuição que se assemelha a uma reta. O mesmo ocorre nos demais casos, em
que pode observar qual a tendência que os pontos assumem, ou, conhecida uma
expressão matemática que reja o fenômeno, encontrar a curva de ajuste baseada
na forma genérica desta expressão.
Suponhamos que foi feita uma coleta de
dados de um fenômeno regido por uma função linear. Fazendo uma tabela de dados:
xk || x1
| x2
| x3
... | xm
|
yk || y1
| y2
| y3
... | ym
|
Temos que estes dados, portanto, são
regidos pela função y(x) = a + bx. Supondo que são conhecidos estes
coeficientes a e b, existe uma distância entre os valores de y obtidos experimentalmente
em relação aos valores de y que seriam obtidos ao substituir o x experimental
correspondente. Esta distância, para servir como parâmetro, deve ser elevada ao
quadrado, pois se usássemos apenas seu módulo, no processo seguinte, onde é
necessária uma otimização, teríamos uma função derivada da função módulo, que
apresenta descontinuidade. Para cada ponto, então, a distância entre a função
de ajuste e o y experimental é:
d = [(axk +
b) - yk ]²
Mas não basta ter o distanciamento apenas
entre um ponto e a melhor reta, para encontrar a e b. Então, usa-se a função φ:
φ (a, b) = Σmk=1 [(axk +
b) - yk ]²
Como se quer que as distâncias d entre o
ponto experimental e o ponto correspondente do domínio para a melhor reta,
temos de otimizar esta função para que seja um mínimo. Sendo o valor da função φ
um número positivo, sempre existirá um valor mínimo pelos axiomas da matemática.
Para ter um mínimo, as derivadas parciais φ’(a)
e φ’(b)
devem ser iguais à zero. Assim, considerando a propriedade de que a derivada da soma é a soma das
derivadas, sendo Σ uma soma de parcelas que
seguem uma regra de formação, tem-se:
φ’(a) = Σmk=1 2[(axk +
b) - yk ] · xk
= 0 e
φ’(b) = Σmk=1 2[(axk +
b) - yk ] = 0
Separando as parcelas dos somatórios,
tem-se:
a ( Σmk=1 [xk²]) + b
Σmk=1 [xk] = Σmk=1 [yk ·
xk]
a ( Σmk=1 [xk]) + bm = Σmk=1 [yk]
O que equivale a um sistema linear 2x2,
pois os x’s e os y’s não são variáveis – são os dados em que se busca a curva
de ajuste. Estas equações são chamadas de equações normais. Nó próximo post desta série, veja os ajustes por Mínimos Quadrados para funções polinomiais.
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