Ajuste por Mínimos Quadrados para funções lineares.

Para qualquer tipo de função

 

O método dos mínimos quadrados pode ser utilizado para qualquer tipo de função, podendo ser restrito para funções lineares e polinomiais. Os métodos de ajuste por mínimos quadrados são técnicas usadas para dados experimentais, geralmente, em que se deseja obter uma função que melhor se adapte a estes dados, seguindo a tendência que estes demonstram. Um ajuste por mínimos quadrados linear é requerido quando os pontos assumem uma distribuição que se assemelha a uma reta. O mesmo ocorre nos demais casos, em que pode observar qual a tendência que os pontos assumem, ou, conhecida uma expressão matemática que reja o fenômeno, encontrar a curva de ajuste baseada na forma genérica desta expressão.

Suponhamos que foi feita uma coleta de dados de um fenômeno regido por uma função linear. Fazendo uma tabela de dados:

x_k || x₁ | x₂ | x₃ ... | x_m |

y_k || y₁ | y₂ | y₃ ... | y_m |

Temos que estes dados, portanto, são regidos pela função y(x) = a + bx. Supondo que são conhecidos estes coeficientes a e b, existe uma distância entre os valores de y obtidos experimentalmente em relação aos valores de y que seriam obtidos ao substituir o x experimental correspondente. Esta distância, para servir como parâmetro, deve ser elevada ao quadrado, pois se usássemos apenas seu módulo, no processo seguinte, onde é necessária uma otimização, teríamos uma função derivada da função módulo, que apresenta descontinuidade. Para cada ponto, então, a distância entre a função de ajuste e o y experimental é:

d = [(ax_k + b) - y_k ]²

Mas não basta ter o distanciamento apenas entre um ponto e a melhor reta, para encontrar a e b. Então, usa-se a função φ:

φ (a, b) = Σ^m_k=1 [(ax_k + b) - y_k ]²

Como se quer que as distâncias d entre o ponto experimental e o ponto correspondente do domínio para a melhor reta, temos de otimizar esta função para que seja um mínimo. Sendo o valor da função φ um número positivo, sempre existirá um valor mínimo pelos axiomas da matemática. Para ter um mínimo, as derivadas parciais φ’(a) e φ’(b) devem ser iguais à zero. Assim, considerando a propriedade de que a derivada da soma é a soma das derivadas, sendo Σ uma soma de parcelas que seguem uma regra de formação, tem-se:

φ’(a) =  Σ^m_k=1 2[(ax_k + b) - y_k ] · x_k = 0 e

φ’(b) =  Σ^m_k=1 2[(ax_k + b) - y_k ] = 0

Separando as parcelas dos somatórios, tem-se:

a ( Σ^m_k=1 [x_k²]) + b Σ^m_k=1 [x_k]  = Σ^m_k=1 [y_k · x_k]

a ( Σ^m_k=1 [x_k]) + bm  = Σ^m_k=1 [y_k]

O que equivale a um sistema linear 2x2, pois os x’s e os y’s não são variáveis – são os dados em que se busca a curva de ajuste. Estas equações são chamadas de equações normais. Nó próximo post desta série, veja os ajustes por Mínimos Quadrados para funções polinomiais.

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