Equações Diferenciais de Segunda Ordem ou Superior e Primeiro Grau

Cálculo

 

As equações diferenciais lineares de ordem n apresentam a seguinte forma geral:

A₀[dⁿy/dyⁿ] + A₁[d^n-1y/dy^n-1] + ∙∙∙ + A_ny = B

A₀, A₁, ... , A_n e B  são funções de x ou constantes. O valor de B define a resolução para a obtenção de y_G(x) (solução geral). Quando B = 0, a solução da parte homogênea da equação diferencial de ordem n e 1° grau é, ao mesmo tempo, a solução geral. Caso contrário, é necessário somar a solução da parte homogênea com a solução específica referente à parte B, que é dependente da Equação característica. Em seguida, elucidaremos tais termos.

A parte homogênea de uma equação diferencial consiste no conjunto de termos que possuem a incógnita y. Supondo o caso em que B = 0, temos que:

 A₀[dⁿy/dyⁿ] + A₁[d^n-1y/dy^n-1] + ∙∙∙ + A_ny = 0          [1]

A solução geral desta equação diferencial, conforme vimos nos posts anteriores desta série, possui n constantes arbitrárias, de acordo com a ordem da equação diferencial. Se y₁, y₂, ... y_n forem soluções particulares da equação [1], e A₁, A₂, ... , A_n constantes, y = A₁ y₁ + A₂ y₂ + ∙∙∙ + A_n y_n [2] é a solução geral.

Para n = 1, a equação [1] ficará:

A₀[dy/dy] + A₁y = 0  que, separando:

A₀[dy/dy] = - A₁y  Þ dy/y = - [A₁/ A₀]dx

Integrando ambos os membros,

òdy/y = - ò[A₁/ A₀]dx + k

ln y = - [A₁/ A₀]x + k

Elevando e a ambos os membros e chamando de C a constante e^k, e r a constante - [A₁/ A₀]:

y(x) = Ce^rx

Quando estamos tratando de equações diferenciais lineares de ordem n, que são de nosso interesse agora, temos:

dⁿy/dyⁿ = rⁿCe^rx, dy/dx = rCe^rx, e assim por diante.

Então , a equação diferencial pode ser reescrita como:

A₀[rⁿCe^rx] + A₁[r^n-1Ce^rx] + ∙∙∙ + A_n Ce^rx = 0

Ce^rx [A₀rⁿ + A₁r^n-1 + ∙∙∙ + A_n] = 0

Como Ce^rx sempre será diferente de zero, então conclui-se que A₀rⁿ + A₁r^n-1 + ∙∙∙ + A_n = 0, que é a equação característica de uma equação diferencial. Veja que os expoentes de r equivalem a ordem da derivada correspondente na parte homogênea da equação diferencial. De acordo com as raízes da equação característica, temos a solução homogênea, que é igual á solução geral da equação diferencial quando temos a situação [1].

Equação característica com raízes reais e distintas: a solução geral é da forma y_G(x) = y_h(x) = C₁e^(r1)x + ∙∙∙ + C_ne^(rn)x, para r₁, ..., r_n sendo as raízes da equação característica [EC]. Exemplo:

1 – d²y/ dx² - 5dy/dx + 6y = 0

EC: r² - 5r + 6 = 0, r₁ = 2 e r₂ = 3

y_G(x) = y_h(x) = C₁e^2x + C₂e^3x.

Equação característica com raízes complexas e distintas: a solução geral é da forma y_G(x) = y_h(x) = e^ax [C₁cos(bx) + C₂sen(bx)] , para r₁ = a + bx e r₂ = a - bx sendo as raízes da equação característica [EC]. Exemplo:

2 – d²y/ dx² + y = 0

EC: r² + 1 = 0, r₁ = +i e r₂ = -i

Parte real a = 0, na parte imaginária, b = 1.

y_G(x) = y_h(x) = C₁cos(x) + C₂sen(x).

Equação característica com raízes reais múltiplas (ou seja, com multiplicidade maior do que 1): a solução geral é da forma y_G(x) = y_h(x) = C₁e^(r1)x + ∙∙∙ + C_nx^n-1e^(rn)x, para r₁, ..., r_n sendo as raízes da equação característica [EC]. Exemplo:

3 – d²y/ dx² - 4dy/dx + 4y = 0

EC: r² - 4r + 4 = 0, r₁ = 2 e r₂ = 2

y_G(x) = y_h(x) = C₁e^2x + C₂xe^2x.

Nos casos em que a equação característica apresenta diferentes combinações de raízes, como por exemplo, raiz 2 com multiplicidade 2 e raiz 1 com multiplicidade 1, aplicamos as regras para estes casos, separadamente, e unimos as respostas em y_G(x), conforme descrito em [2].

No próximo post desta série, veja como obter a solução geral y_G(x) quando B ¹ 0, sendo uma constante ou uma função de x. De qualquer forma, é preciso resolver a equação característica para conseguir realmente obter a solução y_P referente a B.

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