Bases e sistemas de numeração

Matemática e sistemas computacionais

 

Os sistemas de numeração nada mais consistem do que conjuntos de regras que possibilitam a descrição de alguma grandeza, utilizando-se símbolos específicos. Bases indicam a quantidade máxima de símbolos utilizados a cada conjunto de grandezas, sendo necessário mais um símbolo e a repetição de sequência para seguir na representação. A base mais comum é a base 10, ou seja, há dez símbolos, os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Outras bases usuais são a binária (2), a hexadecimal, a base doze (para horas), sessenta (minutos, segundos), 360 (graus).

Nas bases menores do que dez, são usados os números de 0 a n-1 para uma base n qualquer. Acima, passam a ser usadas letras como símbolos representativos. A base 16, usada computacionalmente, usa a sequência 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F para a descrição de grandezas.

O número 7, por exemplo. Na base 10, ele fica representado apenas como 7. Já na base 2, sua representação é 111₂, com a indicação de base que seja diferente de 10. A representação de um número qualquer em uma base k desejada é dada por (a_n∙∙∙ a₃a₂a₁a₀,b₁b₂b₃∙∙∙)_k, o que corresponde a_n ∙ kⁿ ∙∙∙ a₃ ∙ k³ + a₂ ∙ k²  + a₁ ∙ k¹  + a₀ ∙ k⁰  +b₁ ∙ k^-1  + b₂ ∙ k^-2  + b₃ ∙ k^-3  + ∙∙∙, sempre com esta regra de formação.

Para converter um número em uma base qualquer para uma base 10, basta expandi-lo para a forma de soma de potências, e, em seguida, efetuar os cálculos para obter o valor na base 10. Para fazer o inverso, devemos separar a parte inteira da parte decimal e realizar procedimentos diferentes. No número (XXX,MMM), por exemplo, XXX é a parte inteira e MMM a parte decimal.

Tomamos XXX e o dividimos pela base k a converter repetidamente até o último quociente possível. Chamando este último quociente de q e o último resto de c_n, tem-se que (XXX) = (qc_nc_n-1∙∙∙c₀)_k.

Depois, tomamos (0,MMM) e o multiplicamos repetidamente pela base k desejada, extraindo a parte inteira a cada nova iteração (ou seja, substituindo-a por zero), e dispondo estas partes inteiras na forma em que aparecem na representação da nova base. Por exemplo: 0,375 para a base 2:

0,375 ∙ 2 = 0,75

0,75 ∙ 2 = 1,50

0,50 ∙ 2 = 1,00

0,00 (continuar só traria mais zeros à direita, o que é desnecessário)

Portanto, (0,375)₁₀ = (0,011)₂

Os computadores fazem estas conversões todas as vezes em que necessitam realizar operações matemáticas. Os valores são convertidos da base 10 para a base binária, operados e novamente convertidos da base binária para a base 10. Entretanto, o problema está justamente nas divisões efetuadas nas conversões, pois pode ocorrer o caso de dízimas periódicas ou valores irracionais com infinitas casas decimais. E computadores, como tudo, possuem limites. Não abstraem nem trabalham com infinitudes. Vejamos a conversão de 0,1 em base binária:

0,1 ∙ 2 = 0,2;

0,2 ∙ 2 = 0,4;

0,4 ∙ 2 = 0,8;

0,8 ∙ 2 = 1,6;

0,6 ∙ 2 = 1,2;

Veja que a partir de então a conversão passa a caminhar para um novo período 00011, e, em algum momento o computador irá interromper a conversão. O número (0,1)₁₀ será igual a (0,00011000110001100011000110001100011∙∙∙)₂, mas um sistema computacional uma hora irá interrompê-lo, operá-lo e converter um resultado para a base 10, que pode ter erro aceitável ou não conforme o algoritmo usado e o controle de erros feito em sua elaboração, devido às claras limitações impostas às maquinas nestas condições.

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