O que são Equações Diferenciais?

Cálculo

 

Toda equação em que há pelo menos uma derivada de uma determinada incógnita (ou função de uma variável x, por exemplo), podendo ou não haver a própria incógnita nesta equação, chama-se Equação Diferencial. Quando há apenas uma variável independente, chamamos de equação diferencial ordinária (ou EDO); quando há mais do que uma variável livre, chamamos de equação diferencial parcial.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de mais alta ordem contida na equação. Já o grau, seguindo a ideia presente na medida do grau de equações polinomiais, é medido pelo expoente da derivada de mais alta ordem contida na equação diferencial. Sendo assim, alguns exemplos:

1 - (dy/dx)² = 3x – 1 (Primeira ordem e segundo grau);

2 - (d²y/dx²)³ = 4x²³¹ – 1 (Segunda ordem e terceiro grau);

3 – 8d⁴y/dx⁴ + 66d²x/dx² + (dy/dx)² = x²+ 2x -3 (Quarta ordem e primeiro grau).

4 – xdy – ydx = 0 Þ dy/dx = y/x (Primeira ordem e segundo grau);

Conforme o exemplo 4, nem sempre é direta a verificação de ordem e grau de uma equação diferencial.  Às vezes, são necessárias algumas alterações para visualização das informações.

A resolução de uma equação diferencial consiste em indicar todas as incógnitas (funções) que verificam esta equação, observando-se a identidade. Não necessariamente a própria incógnita irá estar presente em uma equação diferencial, mas sua(s) derivada(s) estará(ão). Uma equação diferencial possui dois tipos de soluções: a geral e a particular, quais sejam:

Solução Geral: É a solução que contém tantas constantes arbitrárias indicar a ordem da equação. Assim, uma equação diferencial de primeira ordem apresenta uma constante arbitrária em sua solução geral, uma equação diferencial de segunda ordem possui duas constantes arbitrárias em sua solução geral, e assim por diante.

Solução Particular: É a solução em que são atribuídos valores às constantes arbitrárias presentes na solução geral da equação diferencial. Para obtê-la, primeiro descobrimos a solução geral e, em seguida, por meio de alguma condição fornecida inicialmente (valor da função incógnita para um valor do domínio, ou valor da derivada da função incógnita para um determinado valor específico), define-se que constante é essa.

Veja no próximo post desta série quais são os principais tipos de equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau e suas respectivas formas de resolução. 

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