Derivação implícita em espaços vetoriais quaisquer.

Cálculo 

Como vimos no post de derivação implícita e logarítmica, um método de obter y’(x) é realizar a diferenciação considerando y como uma função de x, realizando a substituição se possível. Neste caso, são necessárias a aplicação de regras como a regra do produto na derivação. Entretanto, há um método mais prático, que pode ser usado em quaisquer dimensões n do IRⁿ.

Usaremos como exemplo uma função do IR³, z = x + xy. Há duas derivadas parciais para z possíveis, quais sejam: z_x = dz/dx ou z_y = dz/dy. Usaremos a notação subscrito por maior praticidade. Considerando uma função F (x, y, z) = 0, ou seja, em nosso exemplo, x + xy – z = 0, calculamos as derivadas parciais F_x, F_y  e F_z. Entretanto, vale afirmar que neste método não consideraremos y como função de x, nem z como função de x e de y para calcular as derivadas. Por enquanto, apenas F é função destas três variáveis.

Calculadas estas três derivadas parciais, temos que:

Este método de cálculo vale para todas as n dimensões de espaços vetoriais, sendo que é fundamental que o espaço vetorial que contém F seja de dimensão n+1, e que F seja obrigatoriamente igual a zero. No caso específico do IR², ou seja, em uma função y(x), a derivada definida implicitamente por este método é igual a:

Por fim, em nosso exemplo:

z_x = - (1+ y)/(-1) = 1 + y

z_y = - (x)/(-1) = x.

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Veja também: (Matemática) A derivada

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