Autovalores e Autovetores

Álgebra Linear 

Considere um espaço vetorial V, e um operador linear T: V → V, e um vetor V pertencente a este espaço. Se, ao aplicar T(v), o vetor imagem for múltiplo escalar de v, especificamente múltiplo pertencente aos reais, dizemos que v é autovetor de T, e o escalar obtido em todas as divisões entre componentes de T(v) pelas componentes de v, é dito autovalor associado ao autovetor v. Este autovalor, representado por λ, portanto, é tal que T(v) = λv.

Vejamos alguns exemplos:

1 – Seja T: V → V transformação linear dada por (x, y) → (4x + 5y, 2x + y). O vetor v = (5, 2) é autovetor de T?

Primeiramente, aplicamos T em v, obtendo o vetor (30, 12). Em seguida, pelo método dado pela definição, observamos os λi’ s obtidos pela divisão da respectiva componente da imagem pela componente original. Se estes λi’ s forem iguais, v é um autovalor de T.

30/5 = λ1 = 6;               12/2 = λ2 = 6.

Como λ1 = λ2 = 6, v é autovetor de T, e 6 é o autovalor associado.

2 – Com o mesmo operador linear do exemplo anterior, w = (1, 2) é autovetor de T?

Analogamente,

T(1, 2) = (14, 4)

14/1 = λ1 = 14;             4/2 = λ2 = 2.

Como λ1 é diferente de λ2, w não é autovetor de T.

Para vetores específicos, é possível saber quais destes são ou não autovetores por simples verificação. Entretanto, quando se deseja saber todos os autovetores de uma transformação linear, ir por tentativa e erro não é a melhor saída. Visto isso, há um método especial que permite o cálculo de todos os autovalores e autovetores.

Inicialmente, para T: U → U um operador linear qualquer. Há uma matriz de transformação para a mesma base, [ T ]_B , relacionado a um polinômio chamado Polinômio Característico, cuja expressão é dada por P_T (t) = det( [ T ]_B – t ∙ I ), sendo t a variável deste polinômio e I a matriz identidade de ordem correspondente à matriz T de transformação linear (caso contrário, seria inviável tal operação). A Base B geralmente usada é a base canônica do espaço vetorial U. Entretanto, havendo outras base B’ e B”, por exemplo, não há alteração no polinômio característico. Logo,  P_T (t) = det( [ T ]_B – t ∙ I ) = det( [ T ]_B’ – t ∙ I ) = det( [ T ]_B” – t ∙ I ).

Para qualquer operador linear T, as raízes reais de P_T (t) são os (únicos) autovalores de T. E dentre estes autovalores, não há apenas um autovetor associado, mas um subespaço vetorial de V que contém todos os autovetores associados a um dado autovalor. Este Subespaço é chamado Autoespaço associado à λ, para λ autovalor de T.

Vejamos mais um exemplo:

3 – Dado o operador linear T: IR² → IR², definido por (x, y) → (4x + 5y, 2x + y), quais são os todos os autovalores e autovetores associados?

A matriz de transformação canônica é dada por:

T = |4  5|

      |2  1|

Destarte, o Polinômio P_T (t) será dado por:

det|4- t  5|

      |2   1-t|

P_T (t) = (4 - t) ∙ (1 - t) - (5 ∙ 2) = t² - 5t - 6.

As raizes de P_T (t) são t’ = 6 e t” = -1, que são os autovalores de T.

Agora, iremos calcular os autoespaços associados:

V_-1 = {(x, y) E IR² / T(x, y) = -1 ∙ (x, y)}

V_-1 = {(x, y) E IR² / (4x + 5y, 2x + y) = -1 ∙ (x, y)}

Através de um sistema, descobrimos que x = -y nestes casos. Portanto:

V_-1 = {(-y, y) E IR² } = [(-1, 1)] (conjunto gerado por (-1, 1)).

Agora, com o autoespaço associado à 6, após procedimento análogo:

V₆ = {(5y/2, y) E IR² } = [(5/2, 1)].

Deste procedimento, sabemos que os autovetores de T são a união entre [(-1, 1)] e [(5/2, 1)].

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Veja também: (Matemática) Vetores Ortogonais e Bases Ortonormais.