Vetores Ortogonais e Bases Ortonormais

Álgebra Linear 

Inicialmente, vamos definir o que um produto interno em um espaço vetorial. Produto Interno é uma função que a cada par de vetores u e v de um espaço vetorial V -  dito euclidiano se contiver ao menos um destes produtos - (u, v) E V x V associa um número real denotado por u ∙ v em alguns casos, ou < u, v > - conforme iremos adotar por convenção – é chamado de produto interno sobre V se satisfaz:

i) < u, v > = < v, u >;

ii) < u, v + w > = < u, v > + < u, w >;

iii) < αu, v > = α< u, v >;

iv) < u, u > é maior ou igual a zero e, se < u, u > = 0, u é o vetor nulo de V.

Todas estas condições devem ser satisfeitas para todos os vetores u, v que pertençam a V e para todo α pertencente aos reais. Desta forma, como em todos os conceitos de Álgebra, se uma condição não for satisfeita, as demais perdem seu valor e o produto não é interno, sendo possível o uso de contraexemplo.

Alguns produtos internos usuais são:

1 – V = IR², u = (a, b) e v = (x, y). < u, v > = ax + by. (este é o chamado produto escalar no IR², um caso especial de produto interno);

2 – V = M₂(IR),  A e B matrizes de ordem 2,  < A, B > = tr(B^t ∙ A). O símbolo indica a função traço, que nada mais é que o produto entre os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada;

3 – V = P_n(IR), p e q polinômios de grau n, < p, q > = integral de zero a um da multiplicação entre p e q, em relação à variável dada.

É importante lembrar que o resultado de um produto interno pode variar com o uso de um mesmo vetor em duas sentenças distintas. O produto escalar no IR² e no IR³ indica a métrica usual de vetores usada nas engenharias. O mesmo não ocorre com os outros produtos internos, que representam os mesmos sistemas de medida e valores em relação às definições que seguem. Por isso, é importante definir qual produto interno será adotado. Também vale ressaltar que a ideia espacial destes conceitos matemáticos será completamente desfeita quando tratarmos de vetores do M₂(IR), por exemplo.

Módulo ou norma entre dois vetores: dado um vetor u, a norma deste vetor é denotada por || u || e consiste na raiz quadrada do produto interno < u, u >. É também definida como o comprimento do vetor, que varia de acordo com o produto interno adotado.

Distância entre dois vetores: é dada pela norma do vetor diferença entre estes dois vetores. Dados u e v E (V, <, >), a distância é || (u – v) ||.

Ângulo entre vetores: Dados dois vetores u e v E (V, <, >) o ângulo θ entre vetores é dado por  θ = arccos [< u, v >/( || u || ∙ || v ||)]

Partindo destes conceitos, já se podem definir vetores ortogonais, bases ortogonais e ortonormais. Seja (V, <, >) espaço euclidiano, u, v E V são ortogonais se o produto interno entre eles for igual à zero. Adotando o produto escalar para u = (1, 0, 2) e v = (-1, 1, 1), vemos que estes dois vetores são ortogonais em relação à esta métrica. Sendo todos os vetores integrantes de uma base  de um espaço euclidiano ortogonais entre si, dois a dois temos uma base ortogonal. Além disso, se todos os vetores constantes nesta base forem unitários, isto é, possuírem norma igual a 1, esta base é chamada ortonormal.

Alguns exemplos de bases ortonormais são as bases canônicas em relação aos produtos internos usuais. Há muitas outras bases ortonormais além das canônicas em relação aos vários produtos internos, e independente de qual produto interno seja usado, pode-se encontrar uma base ortonormal de um espaço vetorial através do processo de ortogonalização de Gram-Schimidt. 

Veja também: (Matemática) Construção de Transformações Lineares.