Na construção de transformações lineares
se têm um exemplo bem típico de aplicação das bases de um espaço vetorial.
Sabendo uma base do espaço vetorial domínio e os valores de T aplicada em cada
um dos vetores, se pode descobrir qual a expressão de T, considerando que esta
seja aplicada em um vetor qualquer do domínio. Este vetor, de acordo com a
definição de base, será combinação linear dos vetores que compõem a base do
espaço domínio. Vejamos o seguinte teorema:
Teorema: Seja
T: U ®
V uma transformação linear, B = {u1,
u2,
... , un}
uma base para U, T fica completamente determinada se tivermos T(u1)
= v1,
T(u2)
= v2,
... , T(un)
= vn.
Por linearização de T, é obtida a
expressão, isto é, dado u = a1u1
+ a2u2
+ ... + anun,
T(u) = T(a1u1
+ a2u2
+ ... + anun)
= a1T(u1) + a2T(u2)
+ ... + anT(un)
= a1v1
+ a2v2
+ ... + anvn.
Exemplos:
1 - Seja T: IR2
®
IR2
uma transformação linear, qual sua expressão, onde se sabe que T(1, 0) = (0, 1)
e T(0, 2) = (1, 1)?
B
= {(1, 0), (0, 2)} é base para o IR2,
conforme se pode provar usando o dispositivo prático,
que prova que B é LI, além de ser gerador para este espaço vetorial. Dessa
forma, dim(B) = dim(IR2)
= 2.
(x,
y) = a(1, 0) + b(0, 2) = (a, 2b), logo
T(x, y) = T(a(1, 0) + b(0, 2)) = aT(1, 0)
+ bT(0, 2) = a(0, 1) + b(1, 1) = (b, a + b).
Pela igualdade de vetores, propriedade dos
espaços vetoriais, a = x e b = y/2, assim:
T(x, y) = (b, a + b) = (y/2, x + y/2)
2 –
Determine uma transformação linear T: IR2 ® IR2,
tal que N(T) = [(1, 0)] e T(1, 1) = (0, 3)
Conhecemos dois vetores do espaço vetorial
domínio. Após verificação, é comprovado que B = {(1, 0), (1, 1)} é base para o IR2, logo, um vetor (x, y)
qualquer pode ser escrito na forma a(1, 0) + b(1, 1).
T(x, y) = T(a(1, 0) + b(1, 1)) = aT(1, 0)
+ bT(1, 1). = a(0, 0) + b(0, 3) = (0, 3b)
Sendo (x, y) = a(1, 0) + b(1, 1) = (a + b,
b), b = y e a = x – y
Destarte, T(x, y) = (0, 3y). □
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