Transformações Lineares

Álgebra Linear 

Assim como no Cálculo, também há funções em que os conjuntos domínio e contradomínio são espaços vetoriais, iguais ou não. São as chamadas funções, transformações ou aplicações lineares, as quais satisfazem dois axiomas principais, sendo T uma transformação linear, u e v dois vetores do espaço vetorial V, e U o espaço vetorial imagem: 

I) O valor de T para o vetor w=u+v é igual a soma dos valores de T aplicada em u somada a T aplicada em v, ou seja, T(w) = T(u) + T(v);

II) Dada a escalar α, T aplicada à z = αu é igual a α vezes T aplicada em u; T(z) = αT(u) . 

Estas duas condições são chamadas condições de linearidade, consideradas as operações usuais de soma e produto por escalar. Vejamos alguns exemplos de funções que são ou não transformações lineares: 

1 – T: IR Þ IR,  x ® x², não é transformação linear, pois não é válido o segundo axioma, ou seja T(αu) ¹ αT(u).

Um contraexemplo que confirma a não validade é usando a escalar 2 e o vetor 1.

2 ∙ 1² = 2 ¹ (2 ∙ 1)² = 4. 

2 - T: IR² Þ IR²,  (x,y) ® (-y,x) é transformação linear. Verificando as condições I) e II), usaremos dois vetores, u = (a, b) e v = (c, d), e a escalar k; u,v E IR², e K E IR.

T(u + v) = T([ (a, b) + (c, d) ]) = T(a+c, b+d) = (-b-d, a+c)

T(u)+T(v) = T(a, b) + T(c, d) = (-b, a) + (-d, c) = (-b-d, a+c)

Logo, a primeira condição é verificada.

k ∙ T(u) = k ∙ T(a, b) = k ∙ (-b, a) = (-kb, ka)

T(ku) = T([k ∙ (a, b)]) = T(ka, kb) = (-kb, ka)

Destarte, foi verificada também a segunda igualdade.

É importante salientar que, assim como todas as definições de espaço vetorial, subespaço vetorial, base e outras na Álgebra Linear, para que seja comprovada a condição de transformação linear, todas as condições (neste caso as duas) devem ser verdadeiras, isto feito de forma algébrica. Caso uma delas não se verifique, não se trata de uma aplicação linear, e é sugerido um contraexemplo numérico, neste caso. 

3 - T: IR³ Þ IR⁴,  (x,y,z) ® (y+x, y-z, 2x, y) é transformação linear. Note que não é necessário que domínio e imagem sejam de mesma dimensão ou tipo de espaço vetorial. Podem ocorrer casos em que há transformações lineares de vetores para matrizes, por exemplo. Verificando as condições I) e II), usaremos dois vetores, u = (a, b, c) e v = (d, e, f), e a escalar k; u,v E IR³, e K E IR.

T[u + v] = T[(a, b, c) + (d, e, f)] = T(a+d, b+e, c+f) = (b+e+a+d, b+e-c-f, 2a+2d, b+e)

T(u) + T(v) = (b+a, b-c, 2a, b) + (e+d, e-f, 2d, e) = (b+e+a+d, b+e-c-f, 2a+2d, b+e)

A primeira condição é verdadeira.

k ∙ T(u) = k ∙ T(a, b, c) = k ∙ (b+a, b-c, 2a, b) = (kb+ka, kb-kc, 2ka, kb)

T(ku) = T([k ∙ (a, b, c)]) = T(ka, kb, kc) = (kb+ka, kb-kc, 2ka, kb)

A segunda idem. 

4 - T: IR³ Þ IR,  (x,y,z) ® x+z é transformação linear porque:

Verificando as condições I) e II), usaremos dois vetores, u = (a, b, c) e v = (d, e, f), e a escalar k; u,v E IR³, e K E IR.

T(u+v) = T([(a, b, c) + (d, e, f)]) = T(a+d, b+e, c+f) = a+d+c+f

T(u)+T(v) = (a+c) + (d+f) = a+d+c+f

Destarte, T(u+v) = T(u)+T(v) é verdadeira.

k ∙ T(u) = k ∙ (a+c) = ka+kc

T(ku) = T(ka, kb, kc) = ka+kc

A segunda condição também é verdadeira.

Veja agora mais alguns exemplos de transformações lineares. A demonstração, como se costuma dizer nos livros de álgebra, fica a cargo do leitor.

5 – Reflexão ao longo da bissetriz dos quadrantes ímpares y=x; T: IR² Þ IR²,  (x,y) ® (y,x)

6 – Dilatação e contração de vetores, por um fator escalar k; T: IR² Þ IR²,  (x,y) ® k(x,y)

7 – Rotação levógira em um ângulo θ definido;

T_θ: IR² Þ IR²,  (x,y) ® (xcosθ - ysenθ, xsenθ +ycosθ)

8 – Cisalhamento na direção do eixo Ox em um fator escalar k; T: IR² Þ IR²,  (x,y) ® (x+ky,y) 

Veja também: (Matemática) Como saber se um conjunto é Linearmente Independente.