Assim como no Cálculo, também há funções
em que os conjuntos domínio e contradomínio são espaços vetoriais, iguais ou
não. São as chamadas funções, transformações ou aplicações lineares, as quais
satisfazem dois axiomas principais, sendo T uma transformação linear, u e v
dois vetores do espaço vetorial V, e U o espaço vetorial imagem:
I) O valor de T para o
vetor w=u+v é igual a soma dos valores de T aplicada em u somada a T aplicada
em v, ou seja, T(w) = T(u) + T(v);
II) Dada a escalar α, T aplicada à z = αu
é igual a α vezes T aplicada em u;
T(z) = αT(u) .
Estas duas condições são chamadas
condições de linearidade, consideradas as operações usuais de soma e produto
por escalar. Vejamos alguns exemplos de funções que são ou não transformações
lineares:
1 –
T: IR Þ IR, x ® x2,
não é transformação linear, pois não é válido o segundo axioma, ou seja T(αu) ¹ αT(u).
Um contraexemplo que confirma a não
validade é usando a escalar 2 e o vetor 1.
2 ∙ 12 = 2 ¹ (2 ∙ 1)2
= 4.
2 -
T: IR2 Þ IR2, (x,y) ® (-y,x) é transformação
linear. Verificando as condições I) e II), usaremos dois vetores,
u = (a, b) e v = (c, d), e a escalar k; u,v E IR2, e K E IR.
T(u + v) = T([ (a, b) + (c, d) ]) = T(a+c,
b+d) = (-b-d, a+c)
T(u)+T(v) = T(a, b) + T(c, d) = (-b, a) +
(-d, c) = (-b-d, a+c)
Logo, a primeira condição é verificada.
k ∙ T(u) = k ∙ T(a, b) = k ∙ (-b, a) =
(-kb, ka)
T(ku) = T([k ∙ (a, b)]) = T(ka, kb) = (-kb,
ka)
Destarte, foi verificada também a segunda
igualdade.
É importante salientar que, assim como
todas as definições de espaço vetorial, subespaço vetorial, base e outras na
Álgebra Linear, para que seja comprovada a condição de transformação linear,
todas as condições (neste caso as duas) devem ser verdadeiras, isto feito de
forma algébrica. Caso uma delas não se verifique, não se trata de uma aplicação
linear, e é sugerido um contraexemplo numérico, neste caso.
3 -
T: IR3 Þ IR4, (x,y,z) ® (y+x, y-z, 2x, y) é
transformação linear. Note que não é necessário que domínio e imagem sejam de
mesma dimensão ou tipo de espaço vetorial. Podem ocorrer casos em que há
transformações lineares de vetores para matrizes, por exemplo. Verificando as
condições I) e II), usaremos dois vetores, u = (a, b, c) e v =
(d, e, f), e a escalar k; u,v E IR3, e K E IR.
T[u + v] = T[(a, b, c) + (d, e, f)] =
T(a+d, b+e, c+f) = (b+e+a+d, b+e-c-f, 2a+2d, b+e)
T(u) + T(v) = (b+a, b-c, 2a, b) + (e+d,
e-f, 2d, e) = (b+e+a+d, b+e-c-f, 2a+2d, b+e)
A primeira condição é verdadeira.
k ∙ T(u) = k ∙ T(a, b, c) = k ∙ (b+a, b-c,
2a, b) = (kb+ka, kb-kc, 2ka, kb)
T(ku) = T([k ∙ (a, b, c)]) = T(ka, kb, kc)
= (kb+ka, kb-kc, 2ka, kb)
A segunda idem.
4 -
T: IR3 Þ IR, (x,y,z) ® x+z é transformação
linear porque:
Verificando as condições I) e II),
usaremos dois vetores, u = (a, b, c) e v = (d, e, f), e a escalar k; u,v E IR3, e K E IR.
T(u+v) = T([(a, b, c) + (d, e, f)]) =
T(a+d, b+e, c+f) = a+d+c+f
T(u)+T(v) = (a+c) + (d+f) = a+d+c+f
Destarte, T(u+v) = T(u)+T(v) é verdadeira.
k ∙ T(u) = k ∙ (a+c) = ka+kc
T(ku) = T(ka, kb, kc) = ka+kc
A segunda condição também é verdadeira.
Veja agora mais alguns exemplos de
transformações lineares. A demonstração, como se costuma dizer nos livros de
álgebra, fica a cargo do leitor.
5 –
Reflexão ao longo da bissetriz dos quadrantes ímpares y=x; T: IR2 Þ IR2, (x,y)
® (y,x)
6 –
Dilatação e contração de vetores, por um fator escalar k; T: IR2 Þ IR2, (x,y)
® k(x,y)
7 – Rotação
levógira em um ângulo θ definido;
Tθ:
IR2 Þ IR2, (x,y)
® (xcosθ
- ysenθ,
xsenθ
+ycosθ)
8 – Cisalhamento
na direção do eixo Ox em um fator escalar k; T: IR2 Þ IR2, (x,y) ® (x+ky,y)
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