Propriedades das Transformações Lineares e Operadores Lineares

Álgebra Linear 

Primeiramente, veremos três propriedades inerentes às transformações lineares:

I) Seja T: U Þ V uma transformação linear, obrigatoriamente T(0_U) = 0_V, sendo 0_U o vetor nulo de U e 0_V o vetor nulo de V; U, V espaços vetoriais. Vejamos alguns exemplos:

1 – Verificar se T: R² Þ R³ dada por T(x, y) = (2x + y, x, y + 2) é transformação linear.

Não, pois T(0, 0) = (0, 0, 2) ¹ (0, 0, 0) que é o nulo do R³. Dessa forma, pela não adequação à propriedade I, T não é transformação linear.

2 – Verificar se T: R² Þ R² dada por T(x, y) = (|x|,0) é transformação linear.

A propriedade I se verifica, pois T(0, 0) = (|0|, 0) = (0, 0) que é o nulo do R². Entretanto, não se pode afirmar ainda que T seja transformação linear Logo, esta propriedade serve como argumento apenas para a não caracterização como aplicação linear. Usando um contraexemplo, verificamos que T não é aplicação linear pois...

T(-1 ∙ (1, 0)) = T(-1, 0) = (|-1|, 0) = (1, 0)

-1 ∙ T(1, 0) = -1 ∙ (|1|, 0) = -1 ∙ (1, 0) = (-1, 0)

...a condição de linearidade da distributividade por um múltiplo escalar não se verifica.

3 – Dizer se T: R³ Þ R³ dada por T(x, y, z) = (2x + y, x, y -z) é transformação linear.

A propriedade I é verificada, pois T(0, 0, 0) = (2 ∙ 0, 0, 0 - 0) = (0, 0, 0) que é o nulo do R³. Dessa forma, para verificar se T é transformação linear, será necessário provar as condições de linearidade. T é aplicação linear (a verificação fica a cargo do leitor). Este tipo de transformação linear, em que domínio e contradomínio são o mesmo espaço vetorial, são chamados Operadores Lineares.

II) Se T: U Þ V é transformação linear, então T(a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n) [para a_i múltiplos escalares pertencentes a IR e u_i vetores pertencentes a U], é igual a a₁ ∙ T(u₁) + a₂ ∙ T(u₂) + ... + a_n ∙ T(u_n).

III) Se T: U Þ V é transformação linear, sendo u e v vetores pertencentes a U,

T(u – v) = T(u) – T(v). Esta é uma propriedade em analogia à soma, em que somamos um vetor ao vetor simétrico de v, que também deve ser válida em transformações lineares.  □ 

Veja também: (Matemática) Transformações Lineares