Núcleo, Injetividade e Sobrejetividade de uma Transformação Linear.

Álgebra Linear 

Assim como nas funções que envolvem os espaços vetoriais dos números reais, também é válido falar em injetividade e sobrejetividade nas transformações lineares. Para falar nestas duas características em Aplicações lineares, é preciso introduzir o conceito de núcleo e imagem.

Núcleo é o conjunto de todos os vetores em que T é aplicada e resulta no vetor nulo do espaço vetorial contradomínio. Ou seja, dada T: U Þ V; o núcleo é o conjunto N(T) = {u E U / T(u) = 0} Veja um exemplo:

1 – Descubra o núcleo de T: R² Þ R² dada por T(x, y) = (2x, 3x).

De acordo com a definição, N(T) = {(x,y) E R²/ T(x,y) = 0}.

N(T) = {(x,y) E R²/ (2x,3x) = 0} = {(x,y) E R²/ x = 0} = {(0,y) E R²}.

A partir desta definição, se define a injetividade nas aplicações lineares. Quando uma transformação linear qualquer T é injetora, seu núcleo possui dimensão igual a zero, ou seja, T(u) = 0_U apenas se u = 0_U. Assim, N(T) = {0} quando T é injetora. No exemplo 1, T não é injetora pois dim [N(t)] = 1. Veja mais um exemplo:

2 – Sendo T: R³ Þ R³ dada por T(x, y, z) = (x - y, 2x + y, x + 5y) um operador linear. T é injetora?

Através de nossa definição, analisaremos o núcleo de T.

N(T) = {(x, y, z) E R³ / T(x, y, z) = 0) = {(x, y, z) E R³ / (x - y, 2x + y, x + 5y) = 0}

N(T) = {(x, y, z) E R³ / x – y = 0, 2x + y = 0, x + 5y = 0}

N(T) = {(x, y, z) E R³ / x = y , 3y = 0, x = -5y) = {(x, y, z) E R³ / x = y = 0}

N(T) = {(0, 0, z) E R^3}.

Como dim [N(T)] = 1, T não é injetora. Note que quando uma das componentes de um vetor não é usada pela aplicação linear, se torna variável livre no conjunto N(T) e amplia a sua dimensão em uma unidade, impedindo que este possua dimensão 0 e indicando que T não é injetora.

Imagem é o conjunto de todos os vetores resultantes da aplicação de T pertencentes ao espaço vetorial contradomínio. Ou seja, dada T: U Þ V; a imagem é o conjunto Im(T) = {v E V / T(u) = v} Veja um exemplo:

3 – Sendo T: R³ Þ R³ dada por T(x, y, z) = (x + y, 2x, z + 5y) um operador linear. Que conjunto representa a imagem de T?

Através de nossa definição, formularemos Im(T).

Im(T) = {(x, y, z) E R³ / T(x, y, z) = (x + y, 2x, z + 5y)}. Chamando (x, y, z) de v, temos:

Im(T) = {v E R³ / T(v) = (x + y, 2x, z + 5y)}.

Análogo ao conceito usual de sobrejetividade, uma transformação linear é sobrejetora se a imagem for igual ao contradomínio. Explicitando esta afirmação em condições, sendo T: U Þ V uma aplicação linear:

i) Im(T) é um subespaço vetorial de V;

ii) T é sobrejetora se, e somente se, Im(T) = V, isto é, dim [Im(T)] = dim V.

Vejamos mais um exemplo: 

4 – Dada a transformação linear T: R³ Þ R³ dada por T(x, y, z) = (2x + y, x, y -z), sendo v = (x, y, z), esta é sobrejetora?

Descobrimos a imagem de T:

Im(T) = {v E R³ / T(v) = (2x + y, x, y -z)}

Depois, encontraremos um conjunto gerador para o subespaço Im(T).

Im(T) = {v E R³ / T(v) = (2x + y, x, y -z)} = {v E R³ / T(v) = (2x, x, 0) + (y, 0, y) + (0, 0, -z)}

Im(T) = {v E R³ / T(v) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, 1) + z(0, 0, -1)} = [(2, 1, 0), (1, 0 ,1), (0, 0, -1)]

O conjunto gerador de Im(T) é {(2, 1, 0), (1, 0,1), (0, 0, -1)}.

Após escalonar os três vetores do conjunto gerador, pelo método prático mostrado no post ‘Como saber se um conjunto é Linearmente Independente’, descobrimos que estes três vetores são linearmente independentes. Assim, o conjunto B = {(2, 1, 0), (1, 0,1), (0, 0, -1)} é base para Im(T) e, por conseguinte, dim [Im(T)] = dim R³ = 3. Desta forma, T é sobrejetora, conforme queríamos verificar. □

Veja também: (Matemática) propriedades das transformações lineares e o que são operadores lineares.