Núcleo, Injetividade e Sobrejetividade de uma Transformação Linear.


Álgebra Linear 




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Assim como nas funções que envolvem os espaços vetoriais dos números reais, também é válido falar em injetividade e sobrejetividade nas transformações lineares. Para falar nestas duas características em Aplicações lineares, é preciso introduzir o conceito de núcleo e imagem.
Núcleo é o conjunto de todos os vetores em que T é aplicada e resulta no vetor nulo do espaço vetorial contradomínio. Ou seja, dada T: U Þ V; o núcleo é o conjunto N(T) = {u E U / T(u) = 0} Veja um exemplo:

1 – Descubra o núcleo de T: R2 Þ R2 dada por T(x, y) = (2x, 3x).
De acordo com a definição, N(T) = {(x,y) E R2/ T(x,y) = 0}.
N(T) = {(x,y) E R2/ (2x,3x) = 0} = {(x,y) E R2/ x = 0} = {(0,y) E R2}.

A partir desta definição, se define a injetividade nas aplicações lineares. Quando uma transformação linear qualquer T é injetora, seu núcleo possui dimensão igual a zero, ou seja, T(u) = 0U apenas se u = 0U. Assim, N(T) = {0} quando T é injetora. No exemplo 1, T não é injetora pois dim [N(t)] = 1. Veja mais um exemplo:

2 – Sendo T: R3 Þ R3 dada por T(x, y, z) = (x - y, 2x + y, x + 5y) um operador linear. T é injetora?

Através de nossa definição, analisaremos o núcleo de T.
N(T) = {(x, y, z) E R3 / T(x, y, z) = 0) = {(x, y, z) E R3 / (x - y, 2x + y, x + 5y) = 0}
N(T) = {(x, y, z) E R3 / x – y = 0, 2x + y = 0, x + 5y = 0}
N(T) = {(x, y, z) E R3 / x = y , 3y = 0, x = -5y) = {(x, y, z) E R3 / x = y = 0}
N(T) = {(0, 0, z) E R3}.
Como dim [N(T)] = 1, T não é injetora. Note que quando uma das componentes de um vetor não é usada pela aplicação linear, se torna variável livre no conjunto N(T) e amplia a sua dimensão em uma unidade, impedindo que este possua dimensão 0 e indicando que T não é injetora.

Imagem é o conjunto de todos os vetores resultantes da aplicação de T pertencentes ao espaço vetorial contradomínio. Ou seja, dada T: U Þ V; a imagem é o conjunto Im(T) = {v E V / T(u) = v} Veja um exemplo:

3 – Sendo T: R3 Þ R3 dada por T(x, y, z) = (x + y, 2x, z + 5y) um operador linear. Que conjunto representa a imagem de T?

Através de nossa definição, formularemos Im(T).
Im(T) = {(x, y, z) E R3 / T(x, y, z) = (x + y, 2x, z + 5y)}. Chamando (x, y, z) de v, temos:
Im(T) = {v E R3 / T(v) = (x + y, 2x, z + 5y)}.

Análogo ao conceito usual de sobrejetividade, uma transformação linear é sobrejetora se a imagem for igual ao contradomínio. Explicitando esta afirmação em condições, sendo T: U Þ V uma aplicação linear:

i) Im(T) é um subespaço vetorial de V;
ii) T é sobrejetora se, e somente se, Im(T) = V, isto é, dim [Im(T)] = dim V.

Vejamos mais um exemplo: 

4 – Dada a transformação linear T: R3 Þ R3 dada por T(x, y, z) = (2x + y, x, y -z), sendo v = (x, y, z), esta é sobrejetora?

Descobrimos a imagem de T:
Im(T) = {v E R3 / T(v) = (2x + y, x, y -z)}
Depois, encontraremos um conjunto gerador para o subespaço Im(T).
Im(T) = {v E R3 / T(v) = (2x + y, x, y -z)} = {v E R3 / T(v) = (2x, x, 0) + (y, 0, y) + (0, 0, -z)}
Im(T) = {v E R3 / T(v) = x(2, 1, 0) + y(1, 0, 1) + z(0, 0, -1)} = [(2, 1, 0), (1, 0 ,1), (0, 0, -1)]
O conjunto gerador de Im(T) é {(2, 1, 0), (1, 0,1), (0, 0, -1)}.
Após escalonar os três vetores do conjunto gerador, pelo método prático mostrado no post ‘Como saber se um conjunto é Linearmente Independente’, descobrimos que estes três vetores são linearmente independentes. Assim, o conjunto B = {(2, 1, 0), (1, 0,1), (0, 0, -1)} é base para Im(T) e, por conseguinte, dim [Im(T)] = dim R3 = 3. Desta forma, T é sobrejetora, conforme queríamos verificar. □

8 comentários:

Jessé Rodrigues disse...

Parabéns pela explicação!

Unknown disse...

Olá, parabéns pelo conteúdo. Minha dúvida é que, se uma transformação é injetora, automaticamente será sobrejetora e, consequentemente, bijetora? Porque tem um teorema: dim[Im(T)]+dim[ker(T)]=dim(V).
Esse teorema só se aplica a transformações bijetoras?
Valeu 👍

O Mestre Blogueiro disse...

Olá. 'Unknown'! Não se esqueça que estamos tratando de uma forma especial de função, porém tratando de vetores. Ser Injetora não significa ser bijetora e, consequentemente sobrejetora. É preciso ter cuidado com estas implicações!

deividwesley_2010 disse...

Olá Mestre, eu tenho uma dúvida: Se eu tenho uma função do F:R³->R dada por F(x,y,z) = x+y-z, no caso, a dimensão da imagem seria 1 e como seria a base desse conjunto imagem? Seria um único vetor? Por exemplo (1,1,-1). Obrigado pela atenção e parabéns pelo conteúdo.

O Mestre Blogueiro disse...

Olá, obrigado por sua visita, @deividwesley_2010! A base não pode ser apenas um único vetor, pois sempre podemos realizar a decomposição com a base canônica.

O Mestre Blogueiro disse...

Obrigado, @Jessé Rodrigues!

joao victor disse...

Se tratando de vetores e de uma transformação linear de T : U - V; R3 - R2;
Nós sabemos que está só será sobrejetora se a dim[Im(T)] = dim[V] certo? Logo, a dimensão da imagem teria que ser 0 para ser sobrejetora. No entanto, ao se tratar do teorema do núcleo e da imagem sabemos que dim[Im(T)] + dim[Nu(T)] = dim[U] já que a imagem e o núcleo são subespaço vetoriais do contra domínio, logo, caso o núcleo fosse 0 o que determina que a TL seria injetora, este teorema não iria prosseguir, contanto caso o núcleo não fosse 0 o teorema iria prosseguir e obteríamos a igualdade. Sendo assim, podemos afirma que é uma forma determinante da consideração objetiva ou sobrejetiva?

O Mestre Blogueiro disse...

Olá. No momento não pude entender claramente sua pergunta. Pode ser necessário buscar ajuda com monitor ou professor universitário na área. Desculpe não poder ajudar.

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