Espaços Vetoriais

Espaços Vetoriais são conjuntos não vazios que atendem a algumas características específicas. Em qualquer um destes Espaços há um elemento em comum: o vetor. Neste texto, as últimas letras do alfabeto, em itálico, serão usadas para definir vetores. Todo espaço vetorial possui estas características, inclusive os mais abordados, que são o R² e o R³.

O R² é o conjunto dos pares ordenados tais que a e b pertençam aos números Reais. Sua representação geométrica é a de um conjunto de pontos em um plano onde são estabelecidos arbitrariamente dois eixos coordenados perpendiculares. Cada ponto é indicado por um par ordenado da forma (a, b). Ligando a origem dos eixos a este ponto, podemos dizer que há um vetor u pertencente ao R² tal que u = (a, b). Esta forma de representação ocorre apenas quando o vetor vai da origem ao ponto, unicamente.

O R³ é o conjunto de ternas numeradas tais que a, b e c pertençam aos números Reais. Sua representação geométrica é a de um conjunto de pontos em um espaço onde são estabelecidos arbitrariamente três eixos coordenados ortogonais entre eles. Cada ponto é indicado por uma terna ordenada da forma (a, b, c). Ligando a origem dos eixos a este ponto, podemos dizer que há um vetor v pertencente ao R³ tal que v = (a, b, c). Esta forma de representação ocorre apenas quando o vetor vai da origem ao ponto, assim como no R² e em todos os demais espaços vetoriais.

A igualdade é a propriedade de dois vetores possuírem as mesmas componentes, ou seja, irem da origem ao mesmo ponto no plano ou no espaço. Dois vetores são iguais se um deles somado ao simétrico do outro for igual ao vetor nulo.

Outra forma de representação dos vetores é por uma matriz linha ou coluna, da forma [a b c ...], o que não interfere na compreensão tampouco nas propriedades dos Espaços Vetoriais.

São duas as operações possíveis entre os vetores de um Espaço Vetorial, quais sejam: Adição e Multiplicação por Escalar.

A adição de vetores é a operação tal que as componentes de cada vetor são somadas, resultando em um novo vetor. Resumindo, dados u = (a, b) e v = (c, d), u,v E R² por exemplo, u + v = (a + c, b + d). Há quatro propriedades na soma de vetores de um espaço vetorial qualquer:

1 – Ocorre associatividade na soma de vetores. Somando três ou mais vetores de formas distintas, o vetor resultante será o mesmo. Por exemplo, dados u, v, w e z E V (como chamaremos um espaço vetorial genérico), (u + v) + (w + z) = u + (v + w) + z = (u + z) + (v + w).

2 – A propriedade comutativa também é válida na soma de dois vetores apenas de um mesmo Espaço Vetorial. Usando os vetores do tópico 1, u + v = v + u.

3 – Existe elemento neutro, que é um vetor que possui todas as componentes iguais à zero (o vetor origem), chamado de O. Dado um vetor u E V, O + u = u.

4 – A existência do vetor simétrico, que é um vetor em que as componentes são iguais a outro vetor, diferindo apenas pelo sinal. Dado u = (a, b, -c, d) e –u = (-a, -b, c, -d), u, -u E V, u + (-u) = O (vetor nulo ou origem).

A multiplicação por escalar é a multiplicação que ocorre entre um vetor e um múltiplo que pertence ao conjunto dos números reais. Dado um vetor w = (a b c d e), por exemplo, e a escalar α E R, α ∙ w = (αa αb αc αd αe). Possui as seguintes características:

1 – Dados dois escalares α e β pertencentes a R, e um vetor u E V, independe a ordem em que é efetuada a multiplicação, ou seja, (α ∙ β) ∙ u = α ∙ (βu).

2 – Dada a soma de dois vetores v e w E V, e a escalar α, independe efetuar o produto entre a soma dos vetores e a escalar primeiramente ou multiplicar pela escalar e depois somar os vetores resultantes: (v + w) ∙ α = αv + αw.

3 – Dados dois escalares α e β e um vetor w, o produto entre a soma dos escalares pelo vetor é igual ao produto de cada escalar pelo vetor somado, ou seja, (α + β) ∙ w = αw + βw.

4 – A escalar 1, assim como no produto entre números reais, é o elemento neutro da multiplicação de um vetor por uma escalar. Dado um vetor v E V, 1 ∙ v  = v.

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Veja também: (Arte) Ai, Menina