O Crivo de Eratóstenes e os números primos

Buscando algum método mirabolante para descobrir números primos em um dado conjunto? Não fique decepcionado apesar de que exista um método, trabalhoso, para encontrá-los. Este método (paradoxalmente) simples foi denominado Crivo de Eratóstenes em homenagem ao seu criador. Crivo significa peneira, indicando a seleção: apenas os primos são desejados.

Eratóstenes foi um grande matemático e geógrafo grego, sendo Diretor da biblioteca de Alexandria, por convite de Ptolomeu Evergeta. Na antiguidade, muitos estudiosos buscaram estabelecer a medida do meridiano terrestre (Maior Secção Circular), feito realizado também por ele, chegando a uma boa aproximação: duzentos e cinquenta mil estádios, o que equivaleria aos reais 40 mil quilômetros de circunferência.

Voltando ao nosso assunto, números primos são diferentes de números primos entre si, que não possuem divisores em comum, pois são definidos como aqueles que só podem ser decompostos em dois fatores: um e eles mesmos; pois não possuem outros divisores naturais. Os procedimentos são os seguintes: 

1 - Defina o conjunto de números do qual se deseja saber quais os números primos, que esteja contido no conjunto dos naturais exceto zero. (N*);

2 - Tome o primeiro número do conjunto e extraia a sua raiz quadrada;

3 - Divida o número por todos os naturais maiores que um e menores que a raiz quadrada obtida, nas divisões, não estenda os quocientes ao conjunto dos reais;

4 - Se o resto de alguma das divisões for igual a zero, encontrou-se dois fatores para o natural em questão;

5 - Se não foi possível encontrar nenhum fator/divisor para o número natural em questão, este número é primo;

6 – Repita os procedimentos para os demais números que desejar. 

Apesar de que pareça simples, este procedimento pode se tornar enfadonho quando feito à mão e demorado, por vezes inviável computacionalmente, dependendo do número escolhido. Como os fatores / divisores vêm aos pares, não faz sentido seguir calculando com naturais maiores que a raiz quadrada do natural que se deseja definir. Não foi descoberto outro método, mas dicas de divisibilidade podem ser interessantes para a eliminação de alguns passos: 

- Se a raiz quadrada for exata, o número não é primo;

- A soma dos algarismos que compõem um número divisível por três também é divisível por três;

- Exceto o número dois, os demais pares não são números primos, pois possuem 2 como fator;

- Os múltiplos de 4 são cíclicos e, após o número 100, basta saber se os dois últimos algarismos são divisíveis por 4, caso afirmativo, 4 é fator do natural em questão;

- Algarismo final cinco ou zero indica que um número natural é divisível por cinco;

- Dois e três são fatores do número seis. Quando estes dois números são divisores de um terceiro, seis também é divisor, por conseguinte. Este fato se repete com quaisquer dois fatores de um número natural;

- Os múltiplos de 8 são cíclicos e, após o número 1000, basta saber se os três últimos algarismos são divisíveis por 8, caso afirmativo, 8 é fator do natural em questão. Como você pôde perceber, isto ocorre com todas as potências de 2, sendo necessário averiguar apenas os algarismos correspondentes à potência em que a base dois está elevada;

- Até o número 90, a soma dos algarismos da unidade e dezena dos múltiplos de nove resultam no próprio número nove. Disso resulta a famosa regra do uso das mãos para fazer as contas. Os famosos palhaços Patati e Patatá associam os valores a comidas, mas já é outra história... ;

- Múltiplos de dez terminam em zero, obrigatoriamente;

- Até 99, os algarismos de dezenas e unidades dos múltiplos de 11 são iguais;

- Respeitando a tricotomia, um fator / divisor de um número é sempre menor ou igual a ele. Estendendo ao Conjunto dos Inteiros (Z*) exceto zero, ainda vale esta afirmação.   □ 

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