As equações de quarto grau recebem um nome especial: biquadradas. As funções que representam, da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, indicam a inclinação das retas tangentes à curva de funções de quinto grau, ou seja, são derivadas das funções de quinto grau. Sua resolução passa pela decomposição em binômios, como mostraremos mais adiante, ou, se a equação biquadrada for da forma ax4 + cx2 + e = 0, adotamos uma regra especial:
I)
Use uma incógnita auxiliar, z por exemplo, e atribua a z o valor de x2;
II) Substituindo z na fórmula geral da
equação biquadrada incompleta que queremos resolver, teremos az2
+ cz + e = 0, mantendo a igualdade e gerando uma equação que já conhecemos;
III) Usando as fórmulas do discriminante e
de Bhaskara, encontre os valores de z (z1 e z2);
IV) Fazendo z1
= x2
e z2
= x2,
encontre todas as raízes da equação biquadrada, lembrando que estas são, no
máximo, quatro.
Exemplo:
4 – x4
– 5x2
+ 6= 0
Usando
a uma incógnita auxiliar, z por exemplo, então a z = x2
z2
– 5z + 6= 0
Δ = (- 5)2
– 4 ∙ 1 ∙ 6.
Δ = 1 (esta
equação possui duas raízes reais, portanto)
z1 = 2, z2
= 3.
Igualando
os z’s a x, temos que mais ou menos raiz quadrada de dois e mais ou menos raiz
quadrada de três são as raízes de x4
– 5x2
+ 6= 0:
Agora, você deve ter ficado em dúvida se
não há outros métodos de resolução de equações que não sejam assim tão
comportadas. Existem, e um deles é a decomposição por fatores, binômios de
primeiro grau, em que ficam evidenciadas as raízes e o grau, ainda assim, dos
polinômios.
Suponhamos a equação x2
+ 2x + 1 = 0. Sabendo que uma das raízes é -1, qual a outra raiz? (Não vale
usar discriminante e Bhaskara). Para resolver esta questão, aplicamos a divisão
de polinômios, encontrando os fatores (x + 1) ∙ (x + 1) = 0. Desta forma, fica
visível que a equação é do segundo grau, bem como que -1 é raiz dupla. Agora,
confira o resultado pelos métodos tradicionais. Usando o exemplo 3 do post
anterior sobre este assunto, poderíamos enunciar x2
– 5x + 6= 0 como (x - 2) (x – 3) = 0 indicando que 2 e 3 são raízes desta
equação quadrática. Ou seja, podemos escrever polinômios na forma (ax - m) (bx
- n)... (kx – z) = 0, em que a, b ... k são constantes maiores ou iguais a 1 e
m,n ... z são raízes (se as constantes forem iguais a 1) da equação, ou temos
que m/a, n/b ... k/z como as raízes ou zeros do polinômio.
No caso de funções afins do tipo ax + b =
0 ou lineares (se b = 0), temos as equações já descritas desta forma intuitiva:
(2x + 15) = 0 ou (x + 15/2) = 0.
Podemos
usar esta técnica para resolver equações incompletas de segundo grau, ou seja,
que não possuem algum termo. Se forem da forma ax2
+ bx = 0 (c = 0), podemos resolvê-las fatorando, obtendo um produto da forma x
∙ (ax + b) = 0, em que zero e –b/a (conforme vimos acima) serão as raízes
desejadas.
5 – x2
– 4x= 0
x
(x – 4) = 0
S
= {0, 4}. □
Agora, falaremos das Relações de Girard,
que são entre os coeficientes e as raízes de equações polinomiais dos mais
diferentes graus. Iremo-nos ater do segundo ao quarto graus.
Relembrando a forma geral das equações
polinomiais:
P(x) = axn
+ bxn – 1
+ cxn – 2
+ dxn – 3
+ ... + x 1
+ x0
As equações de segundo grau são da forma:
ax2 + bx + c = 0
E possuem, portanto, duas raízes. As
relações de Girard vão agrupando as raízes ou zeros somando-as primeiramente
uma a uma, depois em produtos de duas a duas, três a três, e assim sucessivamente;
e relacionando-as com os coeficientes do polinômio, de acordo com o número máximo
de combinações. Veja e entenda melhor:
ax2 + bx + c = 0, S = {x1,
x2}
x1 + x2
= -b/a
x1 ∙ x2
= c/a
Nas equações de 2º grau, assim se
relacionam as raízes x1
e x2.
Já em uma equação de terceiro grau:
ax3 + bx2
+ cx + d = 0, S = {x1,
x2,
x3}
x1 + x2
+ x3
= -b/a.
(x1 ∙ x2)
+ (x1
∙ x3)
+ (x2
∙ x3)
= c/a.
x1 ∙ x2
∙ x3
= -d/a.
Se você ainda não perceber qual a regra de
formação das Relações de Girard, veja com uma equação de quarto grau:
ax4 + bx3
+ cx2
+ dx + e = 0, S = {x1,x2,x3,x4}
x1 + x2
+ x3
+ x4
= -b/a.
(x1 ∙ x2)
+ (x1
∙ x3)
+ (x1
∙ x4)+
(x2
∙ x3)
+ (x2
∙ x4)
+ (x3
∙ x4)
= c/a
(x1 ∙ x2 ∙
x3)
+ (x1
∙ x2 ∙
x4)
+ (x1
∙ x3
∙ x4)
+ (x2
∙ x3
∙ x4)
= - d/a.
x1 ∙ x2
∙ x3 ∙ x4 = e/a.
Estas relações possuem maior validade prática se
forem conhecidas algumas das raízes, pois cada vez mais se torna complexo
encontrar raízes deste modo. Busque entender (não decorar, pois é desnecessário)
a regra de formação destas relações, que é intuitiva, pois podem ser mais uma
ferramenta na resolução de equações. □
2 Comentários
Muito bom, excelente. Ajudou muito
ResponderExcluirMaxwell, seja bem-vindo aO Blog do Mestre e saiba que o desejo do Blog é poder compartilhar diversão e conhecimento. Estou feliz em poder ter ajudado.
ResponderExcluirO Mestre Blogueiro.
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