Equações de Primeiro Grau, Quadráticas e Biquadradas.

Antes de qualquer coisa, vamos definir o que é o grau de uma equação polinomial. Veja abaixo a forma geral de um polinômio:

P(x) = axⁿ + bx^{n – 1} + cx^{n – 2} + dx^{n – 3} + ... + x ¹ + x⁰

O grau de um polinômio nada mais é do que o valor de n (n pertence aos Naturais, incluindo o zero). Quando n é igual a 1, diz-se que a equação é do primeiro grau; se for igual a 2, diz-se do segundo grau, e assim sucessivamente. O grau de uma equação polinomial indica o número máximo de raízes ou zeros que satisfazem àquela equação, além de indicar a possibilidade de resolução usando os coeficientes (constantes que ’acompanham’ a variável), pois só é possível resolver equações até o quinto grau usando apenas os coeficientes, até então.

As equações de primeiro grau são da forma ax + b = 0. Para resolvê-las, somamos –b a ambos os membros, obtendo ax = -b. Em seguida, dividimos ambos os membros por a, obtendo x = -b/a, que é a raiz desejada. Exemplos:

1 – 5x + 8 = 0

5x + 8 – 8 = 0 – 8.

5x/5 = - 8/5.

x = - 8/5. □

2 – 2x + 15 = 0

2x + 15 – 15 = 0 – 15.

2x/2 = -15/2.

x = -15/2. □

Geralmente omitimos, por conveniência, as etapas que ocorrem durante a resolução. Isto não indica que elas deixaram de ocorrer! Apenas se facilita o trabalho:

1 – 5x + 8 = 0

5x = – 8.

x = - 8/5. □

2 – 2x + 15 = 0

2x =  – 15.

x= -15/2. □

O gráfico de uma função polinomial de primeiro grau é uma reta. Neste caso chamamos estas funções de afins ou lineares (se b igual à zero). As raízes ou zeros destas funções são os pontos em que o eixo x é interceptado, veja:

1 –

Gerador de gráficos do Google.

2 –

Gerador de gráficos do Google.

Antes de tudo, esta é a interpretação gráfica da(s) raíz(es) de qualquer equação. Além disso, o gráfico de uma função polinomial de primeiro grau representa a inclinação das retas tangentes à cada ponto no gráfico de uma respectiva função polinomial de segundo grau, ou seja, a derivada de uma função polinomial de 2º grau é uma função polinomial de 1º grau.

As equações de segundo grau admitem duas raízes reais. Há diversas maneiras de calculá-las, usando as Relações de Girard ou a Fórmula de Bhaskara. Relacionando as equações de segundo grau à forma genérica ax² + bx + c = 0, podemos encontrar suas raízes usando os coeficientes, pelas fórmulas abaixo:

A primeira é chamada fórmula do discriminante. Ele possui este nome, pois, de acordo com o seu valor, podemos saber se a equação possui uma raiz dupla (real), duas raízes (reais) ou um par de raizes imaginárias; se seu valor for igual à zero, maior que zero ou menor que zero, respectivamente. A segunda é a fórmula de Bhaskara, que nos diz, através dos coeficientes, quais são estas duas raízes. Exemplo:

3 – x² – 5x + 6= 0

Δ = (- 5)² – 4 ∙ 1 ∙ 6.

Δ = 1  (esta equação possui duas raízes reais, portanto)

      

x₁ =  2, x₂ = 3.

S = {2, 3}. □

As raízes são dispostas em um conjunto chamado Solução, ao qual representaremos por S, em ordem crescente. O sinal mais ou menos disposto na fórmula de Bhaskara indica que serão usadas as duas raízes do discriminante (positiva e negativa, não apenas o módulo), cada uma resulta em uma raiz ou zero distinto da equação.

O gráfico de uma função polinomial de segundo grau é uma parábola, que é o espaço geométrico em que todos os pontos equidistam de um ponto fixo chamado foco e de uma reta chamada diretriz, mas não estenderemos o assunto. As coordenadas do vértice deste gráfico são dadas por x = - b / 2a e y = - Δ / 4a. Veja o gráfico do exemplo 3, e confira em quais pontos ele intersecta o gráfico do eixo x:

3 –

UOL

As funções de segundo grau indicam a inclinação das retas tangentes ao gráfico das curvas de funções de terceiro grau, ou seja, as funções quadráticas são derivadas das funções cúbicas.

Em posts posteriores, seguiremos com este assunto, indicando o método de solução de equações biquadradas, decomposição em binômios e relações de Girard.

Veja também: (Variedades) Ajustes necessários ao ENEM