Definição de Integral

 

Dado o gráfico de uma função que não possui muitas oscilações, como uma função constante do tipo f(x) = k ou uma função afim, é fácil encontrar maneiras de calcular a área sob a curva de uma função. Entretanto, quando precisamos saber áreas sob a curva de gráficos como o da função f(x) = x (sen x) em um dado intervalo:

[Gerador de gráficos do Google]

Pode não ser intuitiva a criação de métodos para calcular esta área, mas é possível obter boas aproximações usando a seguinte técnica: dividimos o intervalo que precisamos em outros subintervalos, aproximando a área desejada por retângulos, cuja altura de um ponto na extremidade direita, esquerda ou qualquer ponto do intervalo corresponde à imagem deste valor, ao qual chamaremos ponto amostral. Veja este exemplo:

- Função sen(3x) + 1 no intervalo de 1 até 5 

 [Jiwon Hwang]

Estas somas por retângulos aproximantes são chamadas somas de Riemann. Nelas, demarcaremos dois valores que serão os extremos da área sob o eixo x, aos quais chamaremos a e b, Veja nas figuras que usamos intervalos iguais do domínio como bases dos retângulos, cuja medida chamaremos Δx. O primeiro retângulo vai de a a a + Δx, o segundo vai de a + Δx a a + 2Δx, ... até o último, que vai de a + (n – 1)Δx a a + nΔx = b. A altura corresponde ao valor f(x) de um ponto do gráfico que esteja na imagem correspondente a cada intervalo do domínio de comprimento Δx, o ponto amostral (f(x_i*)), como antes enunciamos. Com um número pequeno de retângulos, às vezes é melhor usar o ponto da extremidade direita, esquerda, o ponto médio, pois estas somas se tratam de aproximações. Assim, a área sob a curva pode ser calculada como Δx ∙ Σⁿ _{i = 1} f(x_i*)
 

Aumentando o número de retângulos, em que Δx vá ficando cada vez menor (infinitesimamente pequeno), nossas aproximações vão ficando cada vez melhores, até refletirem o real valor da área sob a curva que desejamos. Assim, este cálculo consiste em um limite de somas de Riemann: lim _{n Þ ¥} [Σⁿ _{i = 1} f(x_i*) ∙ Δx]
 

Uma Integral nada mais é do que um limite de somas de Riemann. A ligação entre a função derivada, que consiste em outro tipo de limite especial, e a Integral definida é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Aparentemente, duas coisas que não teriam ligação como a inclinação das retas tangentes à curva e a área sob a curva de um gráfico. □

Veja também: (Mensagens e poesias) O Anel