Figuras geométricas relacionadas a vetores (II)

No post anterior sobre vetores, vimos como calcular a área de um paralelogramo sabendo conceitos de produtos escalar e vetorial. De maneira análoga, podemos calcular o volume de um paralelepípedo (não necessariamente reto) formado por três vetores no R³ (espaço dos vetores reais com três componentes).

Inicialmente, iremos definir o conceito de produto misto. Conforme a ideia intuitiva que o nome infere, há produto escalar e produto vetorial em uma mesma operação. Assim, o produto misto de três vetores u, v, e w é da forma w^T(u x v). Primeiro realizamos o produto vetorial de u e v e, em seguida, o produto escalar / interno entre o vetor w transposto e o vetor (u x v), o que resultará em um valor numérico: o produto misto não gera um novo vetor!

Veja a ilustração abaixo:

O vetor verde representa o produto vetorial (u x v), o vetor roxo representa o vetor v, o vetor azul representa o vetor w e o vetor laranja representa o vetor u.

Um paralelepípedo qualquer possui volume dado pelo produto da área da base vezes a sua altura. A área da base, como já vimos no post anterior, é dada por ll u x v ll. Já a altura precisará ser encontrada usando álgebra vetorial.

A altura equivale à w cos θ, que é, coincidentemente, o mesmo ângulo formado entre os vetores (u x v) e w. Dessa forma:

h = ll w ll cos θ. [1]

cos θ = (u x v)^Tw  / (ll u x v ll ll w ll) [2]

Substituindo [2] em [1]:

h = ll w ll [(u x v)^Tw / (ll u x v ll ll w ll)] = (u x v)^Tw / ll u x v ll.

Agora, substituiremos os valores de área da base e altura:

V = A_bh = ll u x v ll [(u x v)^Tw / ll u x v ll] = (u x v)^Tw ou w^T(u x v).

Disso concluímos que: o volume de um paralelepípedo é igual ao produto misto entre os três vetores que o formam, em ordem bem definida. Quando o produto misto entre três vetores é igual à zero, inexistindo volume, estes três são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano.

Se quisermos saber o volume da pirâmide descrita pelos três vetores (dois na base paralelogrâmica e uma na aresta lateral), basta seguir o princípio de Cavalieri e dividir o resultado do volume do paralelepípedo formado pelos três vetores quaisquer u, v e w por três. □

A projeção ortogonal de um vetor em outro pode ser ilustrada na seguinte situação:

A projeção ortogonal do vetor x (em roxo) em y (em laranja) é p (vetor em amarelo). Os vetores x e y formam um ângulo θ desconhecido. h pode ser considerado o vetor diferença entre x e p.

h = x - p

Como p e y são colineares, podemos dizer que p é múltiplo escalar de y, e pode ser escrito na forma:

p = αy

Assim, calcularemos α primeiro e, em seguida, encontraremos o valor de p.

Da definição do produto escalar / interno, encontramos: y^T(x – p) = 0

y^T(x – p) = y^T(x – αy) = 0

Pela propriedade distributiva do produto escalar:

y^Tx – αy^Ty = 0

Isolando α:

α = x^Ty / ll y ll²

E substituindo-o:

p = (x^Ty)y / ll y ll² □

Do conceito de vetor de projeção ortogonal, extraímos o conceito de matriz de projeção.

O vetor p pode ser escrito como o produto entre uma matriz P e o vetor x (p = Px). Como sabemos que os vetores comutam no produto interno,

p = (x^Ty)y / ll y ll² = (yy^T)x / ll y ll²

Como p = Px, então P = yy^T / ll y ll² □

O Blog do Mestre recomenda a seguinte leitura sobre o assunto:

SANTOS, Reginaldo J. Matrizes Vetores e Geometria Analítica / Reginaldo J. Santos –

Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2007. 

Veja também: (Mensagens e poesias) Querendo não querer