Figuras geométricas relacionadas a vetores (I)

Podemos associar vetores e observar a formação de figuras planas ou espaciais. Usando as propriedades e operações da álgebra vetorial, podemos calcular área e/ou volume destas figuras. Para isso, sabemos que o ângulo formado entre dois vetores é o seguinte:

x^Ty = ll x ll ll y ll cosθ            Þ θ = arccos (x^Ty / ll x ll ll y ll)

(para os matemáticos)

x · y = xy cosθ                      Þ θ = arccos (x · y / xy)

(para os físicos)

Usaremos as notações matemáticas para descrever as operações, todavia elas são iguais em aplicações físicas, com mudança apenas na notação, como é possível perceber no paralelo acima.

Exemplo: Dados os vetores v^T = (1 0) e u^T = (1 1), descubra qual o ângulo entre estes dois vetores.

Usando a fórmula acima, temos: θ = arccos (v^Tu / ll v ll ll u ll) = arccos (1 / 1 x 2^½) = arccos 2^½/2 = 45º. □

Sem efetuar todas as operações, podemos saber se o ângulo entre v e u é reto, agudo ou obtuso, conforme os valores de v^Tu (produto escalar / interno):

- Se v^Tu > 0, θ é agudo;

- Se v^Tu = 0, θ é reto;

- Se v^Tu < 0, θ é obtuso. □

Para calcular a norma do vetor diferença entre dois vetores, aplicaremos o seguinte raciocínio:

ll x - y ll = [(x – y)^T (x – y)]^½, sabendo que a norma de um vetor é igual à raiz quadrada do produto escalar/ interno de um vetor por ele mesmo, baseada na propriedade da comutação de vetores. Elevando ambos os membros ao quadrado:

ll x - y ll² = (x – y)^T (x – y)

A soma ou diferença de duas matrizes, transposta em seguida, é igual à transposta da soma ou diferença das duas. A propriedade distributiva também é válida para os vetores que também obedecem à álgebra matricial. Sabendo disso:

ll x - y ll² = x^T(x – y) – y^T(x – y)

ll x - y ll² = x^Tx – y^Tx – x^Ty + y^Ty

ll x - y ll² =ll x ll² - ll y ll² - 2 x^Ty. □

A área de um paralelogramo descrito por dois vetores, conforme a figura abaixo:

A área de qualquer paralelogramo é dada pelo produto base vezes altura. Neste caso, a base é ll y ll e a altura é dada por:

sen θ = h / ll x ll.

Como precisamos trabalhar apenas em termos de álgebra vetorial para descobrir esta área, faremos a seguinte manipulação algébrica:

h = ll x ll sen θ     

E, em seguida, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo:

A = ll x ll ll y ll sen θ

Mas ainda temos o inconveniente de haver o seno de um ângulo θ que não conhecemos. Podemos proceder de duas maneiras para conseguir escrever a área deste paralelogramo em termos de propriedades dos vetores.

Primeira: conhecendo a Relação Fundamental da Trigonometria (sen² θ + cos² θ =1) e usando a relação antes descrita: cos θ = x^Ty / ll x ll ll y ll, podemos substituir o valor de seno de θ para atingir o nosso objetivo:

sen² θ = 1 - cos² θ

sen² θ = 1 - cos² θ

sen² θ = 1 – (x^Ty)² / ll x ll² ll y ll²

Substituindo em A² = ll x ll² ll y ll² sen² θ (elevamos ambos os membros ao quadrado para realizar a substituição de forma mais fácil)

 A² = ll x ll² ll y ll² [1 – (x^Ty)² / ll x ll² ll y ll²]

A² = ll x ll² ll y ll² – (x^Ty)²

A = [ll x ll² ll y ll² – (x^Ty)²]^½   □

Segunda: sabendo a relação entre produto vetorial e o seno de dois vetores, dada por:

ll x x y ll (leia-se norma de x vetorial y) = ll x ll ll y ll sen θ

sen θ = ll x x y ll / ll x ll ll y ll

Substituindo em A = ll x ll ll y ll sen θ,

A = ll x ll ll y ll [ ll x x y ll / ll x ll ll y ll ]

A = ll x x y ll □

Desta resolução da área do paralelogramo formado por dois vetores, chegamos à seguinte conclusão: a área do paralelogramo formado por dois vetores é igual à norma do produto vetorial entre eles. E dela vem a Identidade de Lagrange:

ll x x y ll² = ll x ll² ll y ll² - (x^Ty)²

Podemos prová-la usando as relações que já conhecemos:

x^Ty = ll x ll ll y ll cos θ, então:

ll x x y ll² = ll x ll² ll y ll² - ll x ll² ll y ll² cos² θ,

Pondo o fator comum em evidência:

ll x x y ll² = ll x ll² ll y ll² ( 1 - cos² θ)

Usamos a relação fundamental da Trigonometria, e obtemos o seguinte resultado:

ll x x y ll² = ll x ll² ll y ll² sen² θ

Extraindo a raíz quadrada de ambos os membros da equação, obtemos:

ll x x y ll = ll x ll ll y ll lsen θl

Que é a relação-conceito do produto vetorial, comprovando a veracidade da Identidade de Lagrange. □  

Veja também: (Matemática Geral) Outras Derivadas