Podemos
associar vetores e observar a formação de figuras planas ou espaciais. Usando
as propriedades e operações da álgebra vetorial, podemos calcular área e/ou
volume destas figuras. Para isso, sabemos que o ângulo formado entre dois
vetores é o seguinte:
xTy = ll x ll ll y ll cosθ Þ θ = arccos (xTy / ll x ll ll y ll)
(para os matemáticos)
x · y = xy cosθ Þ θ = arccos (x ·
y / xy)
(para
os físicos)
Usaremos
as notações matemáticas para descrever as operações, todavia elas são iguais em
aplicações físicas, com mudança apenas na notação, como é possível perceber no
paralelo acima.
Exemplo:
Dados os vetores vT
= (1 0) e uT
= (1 1), descubra qual o ângulo entre estes dois vetores.
Usando
a fórmula acima, temos: θ
= arccos (vTu
/ ll v ll ll u ll) = arccos (1 / 1 x 2½) = arccos 2½/2
= 45º. □
Sem
efetuar todas as operações, podemos saber se o ângulo entre v e u é reto, agudo
ou obtuso, conforme os valores de vTu
(produto escalar / interno):
-
Se vTu
> 0, θ
é
agudo;
-
Se vTu
= 0, θ
é
reto;
-
Se vTu
< 0, θ
é obtuso. □
Para
calcular a norma do vetor diferença entre dois vetores, aplicaremos o seguinte
raciocínio:
ll
x - y ll = [(x – y)T (x – y)]½,
sabendo que a norma de um vetor é igual à raiz quadrada do produto escalar/
interno de um vetor por ele mesmo, baseada na propriedade da comutação de
vetores. Elevando ambos
os membros ao
quadrado:
ll x - y ll2 = (x – y)T
(x – y)
A
soma ou diferença de duas matrizes, transposta em seguida, é igual à transposta
da soma ou diferença das duas. A propriedade distributiva também é válida para
os vetores que também obedecem à álgebra matricial. Sabendo disso:
ll x - y ll2 = xT(x – y) – yT(x – y)
ll x - y ll2 = xTx – yTx – xTy + yTy
ll x - y ll2 =ll x ll2
- ll y ll2
- 2 xTy. □
A
área de um paralelogramo descrito por dois vetores, conforme a figura abaixo:
A
área de qualquer paralelogramo é dada pelo produto base vezes altura. Neste caso,
a base é ll y ll e a altura é dada por:
sen θ = h / ll x ll.
Como
precisamos trabalhar apenas em termos de álgebra vetorial para descobrir esta área,
faremos a seguinte manipulação algébrica:
h = ll x ll sen θ
E,
em seguida, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo:
A
= ll x ll ll y ll sen θ
Mas
ainda temos o inconveniente de haver o seno de um ângulo θ
que não conhecemos. Podemos proceder de duas maneiras para conseguir escrever a
área deste paralelogramo em termos de propriedades dos vetores.
Primeira:
conhecendo a Relação Fundamental da Trigonometria (sen2 θ
+
cos2 θ
=1)
e usando a relação antes descrita: cos θ = xTy
/ ll x ll ll y ll, podemos substituir o valor de seno de θ para atingir o nosso objetivo:
sen2 θ
= 1
- cos2 θ
sen2 θ = 1 - cos2 θ
sen2 θ = 1 – (xTy)2 / ll x ll2 ll y ll2
Substituindo
em A2
= ll x ll2
ll y ll2 sen2
θ
(elevamos ambos os membros ao quadrado para realizar a substituição de forma
mais fácil)
A2 = ll x ll2 ll y ll2 [1 – (xTy)2 / ll x ll2 ll y ll2]
A2 = ll x ll2 ll y ll2 – (xTy)2
A = [ll x ll2 ll y ll2 – (xTy)2]½ □
Segunda:
sabendo a relação entre produto vetorial e o seno de dois vetores, dada por:
ll x x y
ll (leia-se norma de x vetorial y) = ll x ll ll y ll sen θ
sen θ = ll x x y
ll / ll x ll ll y ll
Substituindo
em A = ll x ll ll y ll sen θ,
A = ll x ll ll y ll [ ll x x y ll / ll x ll ll y ll ]
A
= ll x x y ll □
Desta
resolução da área do paralelogramo formado por dois vetores, chegamos à
seguinte conclusão: a área do paralelogramo formado por dois vetores é igual
à norma do produto vetorial entre eles. E dela vem a Identidade de
Lagrange:
ll x x y
ll2 = ll x ll2 ll y ll2 - (xTy)2
Podemos
prová-la usando as relações que já conhecemos:
xTy = ll x ll ll y ll cos θ,
então:
ll x x y
ll2 = ll x ll2 ll y ll2 - ll x ll2 ll y ll2 cos2 θ,
Pondo
o fator comum em evidência:
ll x x y
ll2 = ll x ll2 ll y ll2 ( 1 - cos2 θ)
Usamos
a relação fundamental da Trigonometria, e obtemos o seguinte resultado:
ll x x y
ll2 = ll x ll2 ll y ll2 sen2 θ
Extraindo
a raíz quadrada de ambos os membros da equação, obtemos:
ll x x y
ll = ll x ll ll y ll lsen θl
Que
é a relação-conceito do produto vetorial, comprovando a veracidade da
Identidade de Lagrange. □
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