Vetores
são segmentos de reta orientados que possuem norma (para os matemáticos) ou
módulo (para os físicos, químicos, etc.), direção e sentido. Um vetor que
possui estas características é comparado a outro no espaço. Se as três coincidirem,
diremos então que se trata do mesmo vetor, apenas deslocado.
(Os vetores
azul, preto e laranja são o mesmo vetor, enquanto o vetor verde é um vetor diferente)
Na
soma de dois vetores, X e Y, não estaremos tratando de uma simples soma algébrica,
pois vetores são também representados na forma de matrizes-linha, onde cada
elemento é denominado componente do vetor. O Vetor-soma é dado pela soma das
componentes de cada um dos vetores. A soma possui as propriedades comutativa e
associativa: (X + Y) + Z = X + (Y + Z). Na soma geométrica de vetores, o Vetor
soma vai da origem de um vetor à extremidade de outro, sendo posicionada a
origem do segundo vetor na extremidade do primeiro.
Note
que a mudança de sinal do vetor indica que o sentido do vetor é alterado. Dessa
forma, as somas indicadas na legenda da imagem são verdadeiras. Estes vetores
são representados no R2, ou seja, o espaço das matrizes reais com
duas componentes. Cada componente é a coordenada do vetor em eixos
correspondentes. Em um vetor com três componentes, há três eixos coordenados
ortogonais, e este vetor pertence ao R3, espaço das matrizes reais
com três componentes.
Um
Vetor é nulo quando sua origem e extremidade são coincidentes. Resulta em um vetor
nulo a soma de dois vetores de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.
Analogamente
à operação com matrizes-vetores, a multiplicação de um vetor por um múltiplo escalar
ao qual chamaremos de α possui características especiais. Se α > 0, o vetor αV
possui norma de comprimento α ll V ll (Usamos ll V ll para indicar a norma ou
comprimento de um vetor), mesma direção e sentido de V.. Se α < 0, o vetor αV
possui norma de comprimento α ll V ll, mesma direção, mas sentido oposto à V. Se
α = 0 ou V nulo, o vetor αV é nulo, pois todas as suas componentes são multiplicadas
por zero ou as componentes zero são multiplicadas por α, gerando componentes da
forma α vezes 0. No caso específico de α = -1, obtemos o vetor simétrico de V,
chamado de –V. Dados dois vetores W e V, os dois são colineares ou paralelos
se, e somente se, um for múltiplo escalar do outro (W = αV).
Representamos
um vetor através de suas componentes, que são as coordenadas no plano (no
R2) ou no espaço (no R3) através de matrizes
correspondentes.
Sabendo
as componentes de um vetor e princípios de geometria analítica, pode-se calcular
a norma de um vetor. Também é possível realizar este cálculo usando uma fórmula
específica: ll v ll = [ Σni=1
(vn)2]½
para um vetor com n componentes.
Na
execução do método de Gauss Jordan para a resolução de sistemas lineares,
ocorre a combinação linear, que é a soma de vetores transpostos. Cada vetor
transposto corresponde à uma linha da matriz-sistema e a resolução é descrita
em termos das linhas originais.
Seguiremos neste assunto em posts posteriores.
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