Propriedades e operações com vetores I

Vetores são segmentos de reta orientados que possuem norma (para os matemáticos) ou módulo (para os físicos, químicos, etc.), direção e sentido. Um vetor que possui estas características é comparado a outro no espaço. Se as três coincidirem, diremos então que se trata do mesmo vetor, apenas deslocado.

(Os vetores azul, preto e laranja são o mesmo vetor, enquanto o vetor verde é um vetor diferente)

Na soma de dois vetores, X e Y, não estaremos tratando de uma simples soma algébrica, pois vetores são também representados na forma de matrizes-linha, onde cada elemento é denominado componente do vetor. O Vetor-soma é dado pela soma das componentes de cada um dos vetores. A soma possui as propriedades comutativa e associativa: (X + Y) + Z = X + (Y + Z). Na soma geométrica de vetores, o Vetor soma vai da origem de um vetor à extremidade de outro, sendo posicionada a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro.

Note que a mudança de sinal do vetor indica que o sentido do vetor é alterado. Dessa forma, as somas indicadas na legenda da imagem são verdadeiras. Estes vetores são representados no R², ou seja, o espaço das matrizes reais com duas componentes. Cada componente é a coordenada do vetor em eixos correspondentes. Em um vetor com três componentes, há três eixos coordenados ortogonais, e este vetor pertence ao R³, espaço das matrizes reais com três componentes.

Um Vetor é nulo quando sua origem e extremidade são coincidentes. Resulta em um vetor nulo a soma de dois vetores de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.

Analogamente à operação com matrizes-vetores, a multiplicação de um vetor por um múltiplo escalar ao qual chamaremos de α possui características especiais. Se α > 0, o vetor αV possui norma de comprimento α ll V ll (Usamos ll V ll para indicar a norma ou comprimento de um vetor), mesma direção e sentido de V.. Se α < 0, o vetor αV possui norma de comprimento α ll V ll, mesma direção, mas sentido oposto à V. Se α = 0 ou V nulo, o vetor αV é nulo, pois todas as suas componentes são multiplicadas por zero ou as componentes zero são multiplicadas por α, gerando componentes da forma α vezes 0. No caso específico de α = -1, obtemos o vetor simétrico de V, chamado de –V. Dados dois vetores W e V, os dois são colineares ou paralelos se, e somente se, um for múltiplo escalar do outro (W = αV).

Representamos um vetor através de suas componentes, que são as coordenadas no  plano (no R²) ou no espaço (no R³) através de matrizes correspondentes.

Sabendo as componentes de um vetor e princípios de geometria analítica, pode-se calcular a norma de um vetor. Também é possível realizar este cálculo usando uma fórmula específica: ll v ll = [ Σⁿ_i=1 (v_n)²]^½ para um vetor com n componentes.

Na execução do método de Gauss Jordan para a resolução de sistemas lineares, ocorre a combinação linear, que é a soma de vetores transpostos. Cada vetor transposto corresponde à uma linha da matriz-sistema e a resolução é descrita em termos das linhas originais.

 Seguiremos neste assunto em posts posteriores. 

Veja também: (Ciência e Saúde) Transplante de Órgãos