Outras Derivadas

Já apresentamos aqui alguns métodos de derivação para as funções potência, funções cíclicas, funções exponenciais, funções compostas de produtos e quocientes. Agora, iremos estender um pouco mais este assunto, incluindo a derivada da soma e diferença de funções, funções logarítmicas, e uma nova visão sobre a derivada das funções exponenciais. A regra da cadeia, necessária ao cálculo de derivadas, também será abordada neste post.

Quando temos uma função que é a combinação entre duas funções somadas, por exemplo, f(x) = x² + 2x, e desejamos saber f’(x), calculamos as derivadas das funções x² e 2x e as somamos. Dessa forma, f’(x) = 2x + 2. Podemos enunciar este fato como: “a derivada da soma é igual à soma das derivadas”. Relembrando, a regra da potência foi utilizada para derivar x² e x, e como 2 é uma constante multiplicando uma função, a derivada de x foi multiplicada em termos deste fator. O mesmo ocorre em qualquer caso deste tipo. No caso da diferença, apenas temos um fator negativo multiplicando uma das derivadas. 

Exemplo: g(t) = 4t³ – 5t² e g’(t) = 12t² – 10t. □

Dissemos anteriormente neste blog que a derivada de uma função exponencial é dada por (a^x)’ = f’(0)a^x. O problema desta fórmula reside no fato de que nem sempre conhecemos o valor de f’(0). Claro que, especificamente na função exponencial natural, o valor de f’(0) é igual a um, indicando que a derivada desta função é a própria função exponencial natural. Todavia, para bases diferentes de e, precisamos de outro método de cálculo desta derivada. E este método é dado pela fórmula (a^x)’ = a^xln a. 

Exemplos:

(2^x)’ = 2^xln 2   

(e^x) = e^xln e = e^x (como ln e = 1, vemos novamente que a derivada da exponencial natural é ela mesma)

(π^x)’ = π^xln π, pois o número “π” é uma constante. □

A regra da cadeia é o método de cálculo da derivada de funções compostas (lembre-se: combinação e composição são coisas bem diferentes) baseada no seguinte fato: se há uma função h tal que f ◦ g, intuitivamente poderíamos pensar que, a função f e a função g possuem taxas de inclinação próprias. Se g varia duas vezes e f varia quatro vezes em relação à x, h varia oito vezes em relação à x. Por isso, não podemos afirmar que a derivada do produto é o produto das derivadas e há uma fórmula específica h’ = f’g + fg’ para isso. O mesmo vale para a derivada do quociente, que é dada por (gf’ – fg’)/g². Então, “a derivada de uma composta é o produto das derivadas” e esta regra permite a derivação de funções mais complexas. Calculamos a derivada da função ‘de fora’ para a função ‘de dentro’ vezes a derivada da função ‘de dentro’.

Exemplo I: saber a derivada c’(t) da função c(t) = t² senπt.

A derivada desta função usará a regra do produto e da cadeia. Primeiro, aplicamos a regra do produto:

c’(t) = t² (senπt)’ + (t²)’ senπt. 

Em seguida, a regra da cadeia em senπt, que é a composição entre as funções f=πx e g=senx. 

Então: c’(t) = t² (cosπt x π) + (2t) senπt = 2tsenπt + πt²cosπt. 

Exemplo II: deseja-se conhecer a derivada da função y = (1 – x²)¹⁰.

Aplicando a regra da cadeia e depois a regra da soma, obtemos:

y’ = [10(1- x²)⁹] [ -2x] = -20x(1- x²)⁹. □

No caso da derivação logarítmica a fórmula para o cálculo é a seguinte:

(log_ax)’ = 1/ x ln a. 

Esta fórmula é demonstrada por meio de derivação implícita, assunto de posts posteriores. No caso da função logarítmica natural, ln e = 1, (ln x)’ = 1/x. Esta derivada especial permite maior facilidade em derivações usando as propriedades dos logaritmos, mas esta técnica também faz parte da derivação implícita. 

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