Na derivação implícita, mesmo em sentenças que não são funções, podemos saber qual a taxa de variação da inclinação da reta tangente às curvas descritas no plano cartesiano. Como falamos no último post sobre derivação, podemos demonstrar a validade da equação que mostra a derivada de uma função logarítmica desta forma.
Há
vários casos em que não podemos isolar y em função de x, ou que este
procedimento gera expressões muito complicadas, nos quais usaremos um novo
método de derivação. Derivamos as equações matemáticas como as encontramos e,
em seguida, substituímos y por sua expressão original, obtendo a derivada. A
derivação que realizamos até então, explicitamente, apresentava diretamente a
derivada em ambos os membros da equação. A mudança é que operamos os dois
membros simultaneamente ao invés de só o segundo.
Exemplos:
1
– x3
+ y3 = 6xy [Fólio
de Descartes]
(x3
+ y3)’ = (6xy)’.
Considerando
y como uma função de x e derivando usando as regras da cadeia, potência e
produto, obtemos:
3x2 + 3y2y’ = 6xy’ + 6y
E isolando y’:
y’
= (2y – x2)/(y2
– 2x) □
Geralmente
obtemos uma derivada em termos de x e y, mas em alguns casos é possível derivar
implicitamente e, em seguida, escrever toda a derivada em termos de y:
2 –
x2
+ y2 = 25.
Poderíamos
derivar explicitamente após isolar y no primeiro membro, mas é possível fazer
este procedimento depois.
(x2
+ y2)’ = (25)’
Aplicando
a regra da cadeia e da soma de derivadas, obtemos:
2x + 2yy’ = 0
Isolando y’:
y’ = -x/y
Então
podemos isolar y em nossa função original, substituindo na derivada e obtendo
em termos de x, como já ocorria na derivação explícita:
y
= (25 - x2)½
y’
= -x/ (25 - x2)½ □
Dissemos,
no último post em que falamos sobre a derivada, que comprovaríamos a fórmula
para calcular a derivada usando derivação implícita. Então, chegou a hora:
y
= logax
ou ay
= x
Derivaremos
esta segunda expressão, sabendo que a derivada da função exponencial é ax ln a
e, usando a regra da cadeia, conclui-se que:
(ay)’ = (x)’
(ay ln
a)(y’) = 1
Isolamos y’:
y’ = 1/ ay ln
a
Sabemos
que ay
= x, e realizamos esta substituição:
y’
= 1/ x ln
a.
□
Às vezes, aplicar a regra
da cadeia em funções compostas envolvendo potências pode se tornar algo
extremamente demorado e, como sempre buscamos praticidade e eficiência sem a
perca da qualidade e do resultado final, que é o caso, usaremos uma técnica de
derivação implícita que facilitará em muito todo o nosso trabalho: a derivação
logarítmica.
A derivação logarítmica
utiliza-se da base exponencial natural que, como vimos em posts anteriores (se
desejar, utilize o nosso menu lateral e veja estas postagens), resulta em uma derivada
da forma 1/x, obtida ao substituirmos a por e em y’ = 1/ x ln a,
sabendo que ln e = 1.
Dada uma função y = f(x),
extraímos o logaritmo natural de ambos os membros:
y = (2x3 + 5x)4
ln
y = ln (2x3 + 5x)4
Usamos as propriedades
dos logaritmos,
ln y
= 4ln
(2x3
+ 5x)
e, em seguida, derivamos
implicitamente:
[ln
y]’ = [4ln (2x3 + 5x)]’
(1/y) (y’) = 4[(1/2x3 + 5x) (6x2 + 5)]
y’ = 4y (6x2 + 5)/(2x3 + 5x)
Substituimos o valor de y na derivada e obtemos o seguinte resultado:
y’ = 4(2x3 + 5x)4 (6x2 + 5)/(2x3 + 5x) = 4(2x3 + 5x)3 (6x2 + 5). □
A facilidade deve-se ao
fato de que todas as potências passam a ser encaradas como constantes
multiplicando derivadas e, por isso, passamos a não operá-las durante a
derivação. O leitor de nosso blog pode pensar que seria fácil calcular esta
derivada usando a regra da cadeia, porém pense no seguinte problema:
3
– Derive y = x¾ (x2 + 1)½
/ (3x + 2)5
Já pensou em aplicar as
regras do quociente e da cadeia para este caso?
Seria muito mais prático
aplicar a derivação logarítmica:
ln y = ln x¾ (x2 + 1)½
/ (3x + 2)5
ln y = ¾ln x + ½ln (x2 + 1) – 5ln (3x + 2)
E derivar implicitamente
depois:
[ln y]’ = [¾ln x + ½ln (x2 + 1) – 5ln (3x + 2)]’
y’/y = ¾(1/x)(1) +½(1/ x2 + 1)(2x) – 5(1/3x + 2)(3)
y’ = y [3/4x + x/(x2 + 1) - 15/(3x + 2)]
Após, substitua y pelo
seu valor na equação original:
y’ = [x¾ (x2
+ 1)½ / (3x + 2)5] [3/4x + x/(x2
+ 1) - 15/(3x + 2)]. □
Observações:
-
Em todos os casos, consideramos x como a variável independente e y como a
variável dependente, fazendo y’ = dy/dx
-
A potência ½ possui o mesmo significado que raiz quadrada, sendo usada como
forma de possibilitar a aplicação a regra da potência nos casos em que há
raízes.
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