Números Complexos (nem tão complexos assim)

watch_later 9 de abril de 2015
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Apesar de que o nome possa parecer estranho, eles não são tão complexos assim de lidar. Porém, incluem uma ideia que não é tão clara até o estudo dos demais conjuntos numéricos, que é a da existência de raízes para valores negativos. Durante muito tempo, assim como hoje ainda não se conseguiu avaliar nada que possa ser determinado como resultado para uma divisão por zero e que não seja um limite tendendo ao infinito, as raízes de números negativos figuraram como elementos indesejáveis, que não possuíam uma forma matemática adequada de tratá-los.

Para começar, vejamos a forma geral de um número complexo:

z = a + bi


O termo a é denominado parte real, enquanto o termo bi é denominado parte imaginária, cujo coeficiente b pertence aos reais e i² = -1. Assim, i é igual à raiz quadrada de -1, permitindo avanços bem maiores em termos de resolução de problemas e conjuntos de respostas. Em equações de segundo grau (quadráticas), as soluções complexas vêm aos pares, sempre na forma:
S = {a + bi, a - bi, ...}

Estes dois termos, cuja parte imaginária se diferencia apenas por ser positiva ou negativa, definem o conjugado de números complexos, o qual vamos chamar aqui de z. Os conjugados possuem algumas propriedades interessantes:


*  z = a, então z = a, logo z = z.
O conjugado é igual apenas quando a parte imaginária for nula;

* z + z = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b – b)i = 2a.
A soma do conjugado resulta no dobro da parte real;

* z - z = (a + bi) - (a - bi) = (a - a) + (b + b)i = 2b.
A diferença do conjugado resulta no dobro da parte imaginária;

* z • z = (a + bi) • (a - bi) = a² - b²i² = a² - b² • -1 = a² + b²
O produto do conjugado resulta na soma dos quadrados das partes real e imaginária.


Vimos acima um produto entre números complexos. Note que tratamos o valor i como se fosse uma variável qualquer e depois atribuímos seu valor ao conseguirmos seu valor quadrático i², para simplificar nossos cálculos. Para fazer a divisão entre dois complexos, devemos partir do mesmo princípio da racionalização, porém usando o conjugado. Por exemplo:

4 + i / 2 + 2i = (4 + i / 2 + 2i) • (2 – 2i/ 2 – 2i)
= [(4 + i) • (2 – 2i)] / [(2 + 2i) • (2 – 2i)]
= [(4 + i) • (2 – 2i)] / 8
= [8 -8i +2i -2)] / 8
= (6 -6i)/ 8
= 6/8 • (1 - i)

Em um próximo post, veremos algumas relações trigonométricas existentes entre números complexos e funções trigonométricas.





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