Como calcular e demonstrar as coordenadas do vértice de uma parábola?

Cálculo 

Para quem ainda está cursando o ensino médio, pode ser que apenas a parte final deste post lhe interesse. Entretanto, para quem está iniciando o estudo do Cálculo, pode ser interessante descobrir de onde vêm as coordenadas do vértice de uma parábola usando os testes da primeira e segunda derivadas nesta dedução.
Quando uma função é diferenciável em um ponto de máximo ou mínimo, a sua primeira derivada é igual à zero. As funções polinomiais são diferenciáveis para todo x pertencente a IR do domínio, ou seja, uma função polinomial quadrática também o é, pois é um caso especial de polinômio, cujo grau é igual a 2.
A forma geral de uma equação de segundo grau é h(x) = ax² + bx + c, sendo o seu gráfico o de uma parábola:

 

Nestes exemplos, temos o gráfico das funções f(x) = x² + 4x + 5 e g(x) = -x² + 4x + 5, respectivamente. Note que no primeiro caso, o ponto de vértice é o mínimo da função f e no segundo caso, o vértice é o máximo de g. Assim, f’(x) = 0 e g’(x) = 0 no vértice.
A segunda derivada de uma função qualquer de segundo grau h”(x) é igual a 2a. Sendo a positivo, pelo teste da segunda derivada, temos um mínimo global no vértice. Analogamente, sendo a negativo, temos um máximo global no vértice. Desta forma, apenas sabendo o valor de a, se pode dizer qual a concavidade da parábola, pois o sinal de h”(x) depende apenas do sinal de a. Usando os nossos exemplos, vemos intuitivamente a veracidade desta informação.
Agora, calcularemos as coordenadas do vértice da parábola. Sendo h’(x) = 0, então 2ax + b = 0. Assim, a coordenada x do vértice é igual a -b/2a.
Sabendo a coordenada x do vértice, substituirmo-la em h(x) = y = ax² + bx + c.
Destarte, y = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c

   = a(b²/4a²) – b²/2a + c

   = b²/4a - b²/2a + c

   = (b² - 2b² + 4ac)/ 4a

   = (-b² + 4ac)/ 4a

Sabendo que a definição de discriminante é de Δ = b² - 4ac, temos que:

                 y = -(b² - 4ac)/ 4a

                    = -Δ/4a.

Logo, usando os testes da primeira derivada e segunda derivadas, descobrimos que as coordenadas do vértice são V(-b/2a, -Δ/4a) e que a concavidade é definida pelo valor de a, pelo teste da segunda derivada.
 


  

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2 comentários:

Max Wendel Ferreira Freire Araujo disse...

e como provo que f(x) nunca terá um ponto de inflexão?

O Mestre Blogueiro disse...

Nos pontos de inflexão pode-se ter máximos ou mínimos, onde a taxa de variação da função f(x) ou derivada muda de sinal. Se a derivada f'(x) não trocar de sinal para todo o domínio, prova-se isso.

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