Construção de Transformações Lineares

Álgebra Linear 

Na construção de transformações lineares se têm um exemplo bem típico de aplicação das bases de um espaço vetorial. Sabendo uma base do espaço vetorial domínio e os valores de T aplicada em cada um dos vetores, se pode descobrir qual a expressão de T, considerando que esta seja aplicada em um vetor qualquer do domínio. Este vetor, de acordo com a definição de base, será combinação linear dos vetores que compõem a base do espaço domínio. Vejamos o seguinte teorema:

Teorema: Seja T: U ® V uma transformação linear, B = {u₁, u₂, ... , u_n} uma base para U, T fica completamente determinada se  tivermos T(u₁) = v₁, T(u₂) = v₂, ... , T(u_n) = v_n. Por linearização  de T, é obtida a expressão, isto é, dado u = a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n, T(u) = T(a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n) = a₁T(u₁) + a₂T(u₂) + ... + a_nT(u_n) = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n.

Exemplos:

1 - Seja T: IR² ® IR² uma transformação linear, qual sua expressão, onde se sabe que T(1, 0) = (0, 1) e T(0, 2) = (1, 1)?

B = {(1, 0), (0, 2)} é base para o IR², conforme se pode provar usando o dispositivo prático, que prova que B é LI, além de ser gerador para este espaço vetorial. Dessa forma, dim(B) = dim(IR²) = 2.

(x, y) = a(1, 0) + b(0, 2) = (a, 2b), logo

T(x, y) = T(a(1, 0) + b(0, 2)) = aT(1, 0) + bT(0, 2) = a(0, 1) + b(1, 1) = (b, a + b).

Pela igualdade de vetores, propriedade dos espaços vetoriais, a = x e b = y/2, assim:

T(x, y) = (b, a + b) = (y/2, x + y/2)

2 – Determine uma transformação linear T: IR² ® IR², tal que N(T) = [(1, 0)] e T(1, 1) = (0, 3)

Conhecemos dois vetores do espaço vetorial domínio. Após verificação, é comprovado que B = {(1, 0), (1, 1)} é base para o IR², logo, um vetor (x, y) qualquer pode ser escrito na forma a(1, 0) + b(1, 1).

T(x, y) = T(a(1, 0) + b(1, 1)) = aT(1, 0) + bT(1, 1). = a(0, 0) + b(0, 3) = (0, 3b)

Sendo (x, y) = a(1, 0) + b(1, 1) = (a + b, b), b = y e a = x – y

Destarte, T(x, y) = (0, 3y). □ 

Veja também: (Matemática) Núcleo, sobrejetividade e injetividade de uma Transformação Linear