Construção de Transformações Lineares

watch_later 9 de novembro de 2012
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Álgebra Linear 



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Na construção de transformações lineares se têm um exemplo bem típico de aplicação das bases de um espaço vetorial. Sabendo uma base do espaço vetorial domínio e os valores de T aplicada em cada um dos vetores, se pode descobrir qual a expressão de T, considerando que esta seja aplicada em um vetor qualquer do domínio. Este vetor, de acordo com a definição de base, será combinação linear dos vetores que compõem a base do espaço domínio. Vejamos o seguinte teorema:

Teorema: Seja T: U ® V uma transformação linear, B = {u1, u2, ... , un} uma base para U, T fica completamente determinada se  tivermos T(u1) = v1, T(u2) = v2, ... , T(un) = vn. Por linearização  de T, é obtida a expressão, isto é, dado u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, T(u) = T(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1T(u1) + a2T(u2) + ... + anT(un) = a1v1 + a2v2 + ... + anvn.

Exemplos:

1 - Seja T: IR2 ® IR2 uma transformação linear, qual sua expressão, onde se sabe que T(1, 0) = (0, 1) e T(0, 2) = (1, 1)?

B = {(1, 0), (0, 2)} é base para o IR2, conforme se pode provar usando o dispositivo prático, que prova que B é LI, além de ser gerador para este espaço vetorial. Dessa forma, dim(B) = dim(IR2) = 2.

(x, y) = a(1, 0) + b(0, 2) = (a, 2b), logo
T(x, y) = T(a(1, 0) + b(0, 2)) = aT(1, 0) + bT(0, 2) = a(0, 1) + b(1, 1) = (b, a + b).
Pela igualdade de vetores, propriedade dos espaços vetoriais, a = x e b = y/2, assim:
T(x, y) = (b, a + b) = (y/2, x + y/2)

2 – Determine uma transformação linear T: IR2 ® IR2, tal que N(T) = [(1, 0)] e T(1, 1) = (0, 3)

Conhecemos dois vetores do espaço vetorial domínio. Após verificação, é comprovado que B = {(1, 0), (1, 1)} é base para o IR2, logo, um vetor (x, y) qualquer pode ser escrito na forma a(1, 0) + b(1, 1).
T(x, y) = T(a(1, 0) + b(1, 1)) = aT(1, 0) + bT(1, 1). = a(0, 0) + b(0, 3) = (0, 3b)
Sendo (x, y) = a(1, 0) + b(1, 1) = (a + b, b), b = y e a = x – y
Destarte, T(x, y) = (0, 3y). □ 

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