Figuras geométricas relacionadas a vetores (II)

watch_later 7 de maio de 2012
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No post anterior sobre vetores, vimos como calcular a área de um paralelogramo sabendo conceitos de produtos escalar e vetorial. De maneira análoga, podemos calcular o volume de um paralelepípedo (não necessariamente reto) formado por três vetores no R3 (espaço dos vetores reais com três componentes).

Inicialmente, iremos definir o conceito de produto misto. Conforme a ideia intuitiva que o nome infere, há produto escalar e produto vetorial em uma mesma operação. Assim, o produto misto de três vetores u, v, e w é da forma wT(u x v). Primeiro realizamos o produto vetorial de u e v e, em seguida, o produto escalar / interno entre o vetor w transposto e o vetor (u x v), o que resultará em um valor numérico: o produto misto não gera um novo vetor!

Veja a ilustração abaixo:


O vetor verde representa o produto vetorial (u x v), o vetor roxo representa o vetor v, o vetor azul representa o vetor w e o vetor laranja representa o vetor u.

Um paralelepípedo qualquer possui volume dado pelo produto da área da base vezes a sua altura. A área da base, como já vimos no post anterior, é dada por ll u x v ll. Já a altura precisará ser encontrada usando álgebra vetorial.

A altura equivale à w cos θ, que é, coincidentemente, o mesmo ângulo formado entre os vetores (u x v) e w. Dessa forma:

h = ll w ll cos θ. [1]

cos θ = (u x v)Tw  / (ll u x v ll ll w ll) [2]

Substituindo [2] em [1]:

h = ll w ll [(u x v)Tw / (ll u x v ll ll w ll)] = (u x v)Tw / ll u x v ll.

Agora, substituiremos os valores de área da base e altura:

V = Abh = ll u x v ll [(u x v)Tw / ll u x v ll] = (u x v)Tw ou wT(u x v).

Disso concluímos que: o volume de um paralelepípedo é igual ao produto misto entre os três vetores que o formam, em ordem bem definida. Quando o produto misto entre três vetores é igual à zero, inexistindo volume, estes três são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano.
Se quisermos saber o volume da pirâmide descrita pelos três vetores (dois na base paralelogrâmica e uma na aresta lateral), basta seguir o princípio de Cavalieri e dividir o resultado do volume do paralelepípedo formado pelos três vetores quaisquer u, v e w por três. □

A projeção ortogonal de um vetor em outro pode ser ilustrada na seguinte situação:


A projeção ortogonal do vetor x (em roxo) em y (em laranja) é p (vetor em amarelo). Os vetores x e y formam um ângulo θ desconhecido. h pode ser considerado o vetor diferença entre x e p.

h = x - p

Como p e y são colineares, podemos dizer que p é múltiplo escalar de y, e pode ser escrito na forma:

p = αy

Assim, calcularemos α primeiro e, em seguida, encontraremos o valor de p.
Da definição do produto escalar / interno, encontramos: yT(x – p) = 0

yT(x – p) = yT(x – αy) = 0

Pela propriedade distributiva do produto escalar:

yTx – αyTy = 0

Isolando α:

α = xTy / ll y ll2
E substituindo-o:
p = (xTy)y / ll y ll2

Do conceito de vetor de projeção ortogonal, extraímos o conceito de matriz de projeção.
O vetor p pode ser escrito como o produto entre uma matriz P e o vetor x (p = Px). Como sabemos que os vetores comutam no produto interno,
p = (xTy)y / ll y ll2 = (yyT)x / ll y ll2
Como p = Px, então P = yyT / ll y ll2


O Blog do Mestre recomenda a seguinte leitura sobre o assunto:

SANTOS, Reginaldo J. Matrizes Vetores e Geometria Analítica / Reginaldo J. Santos –
Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2007. 

Veja também: (Mensagens e poesias) Querendo não querer
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