Figuras geométricas relacionadas a vetores (I)


Podemos associar vetores e observar a formação de figuras planas ou espaciais. Usando as propriedades e operações da álgebra vetorial, podemos calcular área e/ou volume destas figuras. Para isso, sabemos que o ângulo formado entre dois vetores é o seguinte:

xTy = ll x ll ll y ll cosθ            Þ θ = arccos (xTy / ll x ll ll y ll)

(para os matemáticos)

x · y = xy cosθ                      Þ θ = arccos (x · y / xy)

(para os físicos)

Usaremos as notações matemáticas para descrever as operações, todavia elas são iguais em aplicações físicas, com mudança apenas na notação, como é possível perceber no paralelo acima.

Exemplo: Dados os vetores vT = (1 0) e uT = (1 1), descubra qual o ângulo entre estes dois vetores.

Usando a fórmula acima, temos: θ = arccos (vTu / ll v ll ll u ll) = arccos (1 / 1 x 2½) = arccos 2½/2 = 45º. □

Sem efetuar todas as operações, podemos saber se o ângulo entre v e u é reto, agudo ou obtuso, conforme os valores de vTu (produto escalar / interno):

- Se vTu > 0, θ é agudo;

- Se vTu = 0, θ é reto;

- Se vTu < 0, θ é obtuso. □

Para calcular a norma do vetor diferença entre dois vetores, aplicaremos o seguinte raciocínio:

ll x - y ll = [(x – y)T (x – y)]½, sabendo que a norma de um vetor é igual à raiz quadrada do produto escalar/ interno de um vetor por ele mesmo, baseada na propriedade da comutação de vetores. Elevando ambos os membros ao quadrado:

ll x - y ll2 = (x – y)T (x – y)

A soma ou diferença de duas matrizes, transposta em seguida, é igual à transposta da soma ou diferença das duas. A propriedade distributiva também é válida para os vetores que também obedecem à álgebra matricial. Sabendo disso:

ll x - y ll2 = xT(x – y) – yT(x – y)

ll x - y ll2 = xTx – yTx – xTy + yTy

ll x - y ll2 =ll x ll2 - ll y ll2 - 2 xTy.

A área de um paralelogramo descrito por dois vetores, conforme a figura abaixo:



A área de qualquer paralelogramo é dada pelo produto base vezes altura. Neste caso, a base é ll y ll e a altura é dada por:

sen θ = h / ll x ll.

Como precisamos trabalhar apenas em termos de álgebra vetorial para descobrir esta área, faremos a seguinte manipulação algébrica:

h = ll x ll sen θ     

E, em seguida, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo:

A = ll x ll ll y ll sen θ

Mas ainda temos o inconveniente de haver o seno de um ângulo θ que não conhecemos. Podemos proceder de duas maneiras para conseguir escrever a área deste paralelogramo em termos de propriedades dos vetores.

Primeira: conhecendo a Relação Fundamental da Trigonometria (sen2 θ + cos2 θ =1) e usando a relação antes descrita: cos θ = xTy / ll x ll ll y ll, podemos substituir o valor de seno de θ para atingir o nosso objetivo:

sen2 θ = 1 - cos2 θ

sen2 θ = 1 - cos2 θ

sen2 θ = 1 – (xTy)2 / ll x ll2 ll y ll2

Substituindo em A2 = ll x ll2 ll y ll2 sen2 θ (elevamos ambos os membros ao quadrado para realizar a substituição de forma mais fácil)

 A2 = ll x ll2 ll y ll2 [1 – (xTy)2 / ll x ll2 ll y ll2]

A2 = ll x ll2 ll y ll2 – (xTy)2

A = [ll x ll2 ll y ll2 – (xTy)2]½  

Segunda: sabendo a relação entre produto vetorial e o seno de dois vetores, dada por:

ll x x y ll (leia-se norma de x vetorial y) = ll x ll ll y ll sen θ

sen θ = ll x x y ll / ll x ll ll y ll

Substituindo em A = ll x ll ll y ll sen θ,

A = ll x ll ll y ll [ ll x x y ll / ll x ll ll y ll ]

A = ll x x y ll □

Desta resolução da área do paralelogramo formado por dois vetores, chegamos à seguinte conclusão: a área do paralelogramo formado por dois vetores é igual à norma do produto vetorial entre eles. E dela vem a Identidade de Lagrange:

ll x x y ll2 = ll x ll2 ll y ll2 - (xTy)2

Podemos prová-la usando as relações que já conhecemos:

xTy = ll x ll ll y ll cos θ, então:

ll x x y ll2 = ll x ll2 ll y ll2 - ll x ll2 ll y ll2 cos2 θ,

Pondo o fator comum em evidência:

ll x x y ll2 = ll x ll2 ll y ll2 ( 1 - cos2 θ)

Usamos a relação fundamental da Trigonometria, e obtemos o seguinte resultado:

ll x x y ll2 = ll x ll2 ll y ll2 sen2 θ

Extraindo a raíz quadrada de ambos os membros da equação, obtemos:

ll x x y ll = ll x ll ll y ll lsen θl

Que é a relação-conceito do produto vetorial, comprovando a veracidade da Identidade de Lagrange. □  

Veja também: (Matemática Geral) Outras Derivadas

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