Propriedades e operações com vetores II

watch_later 24 de abril de 2012
comment Comentar

Combinação linear é a descrição de um vetor em termos da soma de múltiplos escalares de outros vetores. Todos os vetores são, independentemente das suas componentes, combinações lineares de outros vetores. Exemplo:

Dados VT = (1 -1 0),  V1T = (3  4  -2),  V2T = (1 -2 0)  e V3T = (0 0 1); a combinação linear dos três é dada pela igualdade: 

VT = x1(3 4 -2) + x2(1 -2 0) + x3(0 0 1)

VT = x1V1T + x2V2T + x3V3T.

A generalização deste fato é dada por VT = Σni=1 xiViT.

Um caso especial é o da combinação linear por vetores canônicos, em que x1, x2, x3 ... xn são as próprias componentes do vetor original. Exemplo:

VT = (1 4 5) = 1(1 0 0) + 4(0 1 0) + 5(0 0 1)

Como dissemos no post ‘Propriedades e operações com vetores I’, dois vetores são paralelos ou colineares se um for múltiplo escalar do outro. Este é um caso especial de combinação linear, em que um vetor VT = αUT = x1UT. Neste caso, os vetores possuem mesma direção e sentido, e a norma do vetor V é igual a α vezes a norma do vetor U. Exemplo:

1 – Dado o vetor AT = (1  -1  2), determine um vetor BT na mesma direção e sentido de A tal que ll B ll = 1.

Resolução: O vetor B é múltiplo escalar de A. Dessa forma, o vetor B é da forma α(A) e a norma do vetor B é igual a α ll A ll. Então:

ll A ll = (12 + (-1)2 + 22)½ = 6½.

ll B ll = α ll A ll

1 = 6½α

α = 1/6½

E assim, definindo o vetor B pela fórmula acima (BT = Σni=1 xiAT), obtemos

BT = (1/6½ -1/6½ 2/6½) □

O Produto interno de vetores é dado pela forma UTV e resulta em um número (grandeza escalar). Aplicando esta ideia à norma de vetores, podemos definir ll v ll para um vetor v qualquer como:

ll v ll = (vTv)½

 O Produto exterior ou externo de vetores é o produto de dois vetores V e UT que gera uma matriz de ordem correspondente ao número de componentes de V, quadrada. Este produto é dado por VUT.


O produto vetorial entre dois vetores é um terceiro tipo de produto possível, em que o resultado é um terceiro vetor, ortogonal aos demais, ou seja, o vetor gerado neste produto forma pares de ângulos de noventa graus com os demais. Este terceiro vetor é denotado da seguinte maneira: WT = (U x V)T = (d1 d2 d3 ... dn)  [leia-se W transposto igual a U vetorial V transposto]. As componentes d1, d2, d3, ... e dn de WT são calculadas usando discriminantes com as componentes de U e V que não possuam o mesmo índice da componente que se deseja calcular. Em um produto escalar no R3, este vetor WT é da forma (d1 d2 d3) em que:

d1 = x1(u2v3 – u3v2), d2 = – x2(u1v3 – u3v1) e d3 = x3(u1v2 – u2v1).

Num primeiro momento, esta expressão pode parecer muito complicada, mas observe que cada componente do vetor é o produto entre uma variável xn vezes o discriminante de uma matriz de ordem 2 em que não aparecem as componentes de mesmo índice de x. No caso de x2, o sinal é negativo.

WT = [x1(u2v3 – u3v2)   – x2(u1v3 – u3v1)   x3(u1v2 – u2v1)]

Construindo um paralelepípedo com lados ll U ll, ll V ll e ll W ll; (sendo U, V e W os vetores do exemplo acima) a área deste sólido geométrico é dada pelo produto da norma dos três, pois, como vimos, U, V e W são ortogonais.
Nos próximos posts, veremos o produto misto de vetores, a área do paralelogramo e do paralelepípedo descritos por vetores no R2 e no R3.


* Usamos vetores na forma VT para facilitar o desenvolvimento das notações e raciocínios aqui usados em um espaço mais reduzido, sem afetar o conteúdo. Se preferir, Escreva os vetores sem a transposição para ver estas propriedades.  

Veja também: (Tecnologia e Softwares) Linguagem Algorítmica (II)
  • chevron_left
  • chevron_right

Seu comentário será publicado em breve e sua dúvida ou sugestão vista pelo Mestre Blogueiro. Caso queira comentar usando o Facebook, basta usar a caixa logo abaixo desta. Muito obrigado!

NÃO ESQUEÇA DE SEGUIR O BLOG DO MESTRE NAS REDES SOCIAIS (PELO MENU ≡ OU PELOS ÍCONES CIRCULARES) E ACOMPANHE AS NOVIDADES!

sentiment_satisfied Emojis do Google (texto para inserir)